从菲尔兹奖看现代数学(3)

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从菲尔兹奖看现代数学(3)

作者：M. Monastyrsky
原题:Modern Mathematics in the Light of the Fields
Medals.本期译出其中有关Algebra和Miscellany的部分.见该书P.89--102.该书由
美国Ak Peters, Ltd出版社出版.地址在Welpesley, Massachusetts.
\sec{代数}
\vskip-.2in
\sec{J. Thompson}
有限单群的分类是数学中的经典问题.目前这个问题好象完全解决了.1970年Fields
奖得主Thompson对这个分类作出了重大贡献.
在讲下去之前,我需要解释为什么在一个精确的数学论断中,竟会出现``好象';';这个
词. D. Gorenstein,即有限群论的第一流专家使用过这个词,这是由于数学史上这个颇
不寻常的问题引出来的.
分类完全性的证明包括5000个杂志页,而且彻底的解释也要求数目差不多的附加页,
因为某些结果是用计算机得到的.证明的检验本身就是个困难的问题.Gorenstein的
书[Gor]给出部分解释.他的另外两本书有一些详细的证明.
有限单群的分类比起(例如)单李代数的分类不知要复杂多少倍.在单群中有26个例
外群,这些群的阶相当地大.例如,最大的散在单群Fischer-Griess群,有人更喜欢称
之为大魔或友好巨人,它的阶是
$$
2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^9\cdot 7^6\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot
17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot
71\sim 10^{54}.
$$
这个群可以表现为维数为196883的某个非结合交换代数的自同构群.近来一些惊人
发现涉及到了这个群,后面我们就会谈到.
任一有限单群或是在有限特征域上的李型单群,或李群的类似,或是交错
群$A_n(n\geq 5)$,或是散在群之一\footnote"*"{作者在此处忽略了素数阶循环
群. ------译注}.证明散在群是单群需要专门的技巧.散在群最后的列表标志着分
类的完成,但在此之前的形势仍是困难的,那就是几个关于单群结构的定理的证明.
这些定理为寻找有限单群结构中共有的正则性提供了方法.在这一方面Thompson的
结果是极为重要的.在与W. Feit合作的文章中,他证明了基础性的结果:所有的非交
换单群都具有偶数阶.
Thompson的文章复盖了整个有限群分支,他还在这个领域中活跃地工作,他所提出的
问题之一最近被Bombieri所解决.
有限单群论的主要发展是与对Fischer-Griess大魔群的研究联系在一起
的.Thompson和J. McKay发现,大魔群表示的维数就是模函数$J(\tau)$的展开的系
数,$J(\tau)$是用Dedekind eta函数与单李代数$E_8$的权格的theta函数定义的.
这种观点直接将大魔群的研究与和它平行发展的无穷维李代数方面的工作联系在一
起.很多数学家,特别是I. Macdonald和V. Kac发现了无穷维李代数表示维数与eta
函数的单位元的关系.带着料想不到的结果和应用,一个新兴的数学领域产生了,它
包含着看来距离颇大的不同分支,如物理中的弦论和二维共形论,Leech格的分类,编
码理论等等.最近出版了两本漂亮的书[FLM, CS]给出了这些成果的清楚的阐述.
在评述获Fieds奖的文章时,时常面临着一个困难,那就是如何将给定的一篇文章归
入数学中某个传统领域,在过去的30多年中数学的面貌有了如此大的改变.例
如,Margulis和D. Quillen的文章算是哪个数学分支的呢?
全文见 数学译林  

木直清风

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