概率论大师钟开莱：转益多师，成就非凡

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概率论大师钟开莱：转益多师，成就非凡

原创 劳旺 冷眼贱客 2024 年 09 月 27 日 06:48 美国

钟开莱（1917 年 － 2009 年），1917 年生于上海，祖籍浙江杭州。世界知名的概率学家、华裔数学家，生前是美国斯坦福大学数学系教授、系主任、荣休教授。钟开莱先生是随机过程理论的开拓者和奠基者之一，在概率论的几个分支上都取得了重要的成果，贡献显著。在他们那一辈的数学家中，他和陈省身、林家翘、周炜良、王浩等都是跻身 20 世纪世界一流数学家之列的华裔翘楚。然而除了陈省身先生，其他几位在国内的声名并不十分彰显。究其原因，有部分是因为这几位长期旅居海外，其大部分学术和教学活动并不在国内；也有部分原因，是国内数学界传统上比较注重数论和分析学，对概率论、计算数学、数理逻辑等新兴的数学分支，其重视程度并不等量齐观。


· 钟开莱 ·

求学经历: 转益多师

1936 年钟开莱考入清华大学，先在物理系学习。当时西南联大理学院院长是吴有训先生。吴有训开设光学课，钟开莱听了几次课以后觉得他讲授的内容书上全都有，自己看书自学就可以，就开始逃课。可当时理学院听课的学生只有寥寥十来人，走了一个很现形，吴有训很快发觉钟开莱逃课的事实，大发雷霆。钟开莱担心今后的日子混不下去，所以转到了数学系。

钟开莱转到数学系后，开始是跟着华罗庚学习数论。没有多久又是嫌华罗庚讲课太啰嗦。有一天，华讲了一大堆东西，钟开莱不服气回家折腾了十页的纲领性文字，第二天上课的时候扔给华罗庚，意思是你拿去看吧。当时还是年轻教师的华罗庚很不爽，回去也折腾了一晚上，硬是把这 10 页压缩成 3 页，回敬给钟开莱。当时的西南联大，学习氛围可见一斑。后来钟开莱还是决定转投中国概率论与数理统计研究开拓者许宝騄学习概率论。1942 年清华大学（西南联大）数学系研究生毕业。1942 年至 1945 年任昆明西南联合大学暨北京大学讲师（他毕业后西南联大-清华大学聘他为助教， 而西南联大-北京大学聘他当讲师。于是他应了北大之聘）。

1944 年钟开莱同时考取了第六届庚子赔款公费留英和清华公费留美奖学金，他最终选择了赴美学习，1945 年底赴美国普林斯顿大学留学，攻读博士学位。到普林斯顿第一天，他说，“我一定要到镇上最好的餐馆吃一顿！”他从火车站拖着行李一路走到普林斯顿最好的法式餐馆，风尘仆仆，蓬头垢面，好说歹说，门童才放他进去。一进餐馆，他竟一眼认出了一位食客是 Harald Cramér ，当时概率和统计学界的世界第一人。Cramér 从斯德哥尔摩大学到普林斯顿做访问学者，才来没几天。钟开莱跑到 Cramér 教授面前，自我介绍，共同吃了一顿饭，饭毕，Cramér 就成了钟开莱的博士生导师。Cramér 只在普林斯顿呆了两年，两年之后，钟开莱拿到了博士学位，Cramér 回到斯德哥尔摩大学当了校长。钟开莱的博士论文答辩委员会成员还有调和分析论大师 Salomon Bouchner ，和著名的统计学家、快速傅里叶变换共同发明人、现代数据分析方法的奠基人之一的 John Tukey 。


· Harald Cramér ·

从国内到美国，钟开莱在学业上一路开挂，而且师从多位学界顶流，也是非常难得的际遇了。帮他拓展眼界，为他日后的学术成就打下了坚实的基础。

学术生涯：现代概率论的领军人物

钟开莱在普林斯顿大学拿到博士学位后，在普林斯顿继续了几年的研究工作。五十年代任教于美国芝加哥大学、纽约州康奈尔大学、哥伦比亚大学和 Syracuse 大学，1961 年赴任斯坦福大学数学系，并一直呆在斯坦福直到 1988 年退休。钟开莱早期的学术成就之一是他对马尔可夫链（Markov Chain）的开创性研究，马尔可夫链是一种以随机方式从一个状态过渡到另一个状态的系统，其未来状态仅取决于当前状态，而不取决于其之前的事件序列（所谓的“无记忆”属性）。他探索了马尔可夫链中状态循环（意味着过程将无限次返回到该状态）或瞬态（意味着过程可能离开该状态并且永不返回）的条件。他对这些状态的严格分类有助于理解马尔可夫链的长期行为。他还专注于遍历马尔可夫链，帮助形式化和细化了马尔可夫链遍历的条件，建立了关于马尔可夫链何时以及如何收敛到平稳分布的关键结果。和行为特征的研究为理解这些过程做出了重大贡献。他把他这方面的主要研究成果总结在 1960 年代出版的著作《具有平稳转移概率的马尔可夫链》中。本书对该主题进行了严谨且通俗易懂的处理，讨论了具有平稳转移概率的马尔可夫链的数学性质及其收敛行为。该书出版既成为里程碑式著作，是该领域的标准参考书。

钟开莱还在鞅论（Martingale Theory）理论方面取得了重大进展。他帮助确立了鞅论作为随机过程的基本类别，在纯数学和应用数学中都有广泛的应用。他提供了鞅、下鞅和上鞅的清晰而正式的定义，以及这些过程以特定方式表现的条件。特别是，他的工作有助于形式化鞅与马尔可夫链和其他随机过程之间的关系。通过为某些类别的随机过程建立鞅的性质，钟开莱帮助将概率论的不同领域（如马尔可夫过程和布朗运动）连接到统一的框架下。鞅论是概率论的核心随机过程类。鞅论在从金融到统计物理等领域有着广泛的应用。钟开莱对鞅及其性质的严格处理对该学科的理论发展及其实际应用都产生了深远的影响。

后来，钟开莱的研究范围扩展到随机过程（Stochastic Processes），尤其是布朗运动（Brownian Motion）和扩散过程（Diffusion Processes）。他的研究探索了布朗运动的更深层次的概率结构，特别是它如何与边界相互作用以及它如何随时间演变的长期行为。他对击中时间（布朗粒子首次达到特定状态的预期时间）的研究对于理解随机过程背景下的边界条件和位势理论非常重要。钟开莱的研究为分析布朗运动提供了新的数学方法，从而获得了有关其收敛性质、分布和应用的更精确的结果。他还通过利用布朗运动的概率特性，对位势理论中的经典问题提供了新的见解，展示了如何使用随机过程方法来解决复杂的调和分析问题。他的工作有助于将概率论与经典分析理论联系起来，特别是在使用随机过程来理解有边界域中的调和函数行为方面。这在物理学、工程学和其他科学领域具有重要应用，因为扩散过程和边界条件至关重要。他在这一领域的工作有助于阐明随机过程的理论基础，并促进了随机模型在各个科学甚至金融领域的更广泛应用。

钟开莱早年步入研究生涯的时候，正是 Andrey Kolmogorov 领军的莫斯科学派刚刚完成了概率论的公理体系，古典概率论正在向现代概率论过渡。而 Norbert Wiener 、Joseph Doob 等美国数学家开始把目光瞄向动态的随机过程领域。钟开莱顺应这个潮流，步步为营，稳扎稳打，开始在这个领域开疆拓土，成为现代概率论发展的领军人物之一。他对动态过程的概率结构展现出来的深刻洞察力为当今理解该领域的许多内容奠定了基础。

著书育人：桃李满天下

钟开莱有十余部著作，有概率论方面的教科书，也有学术专著。他撰写的几本有影响力的教科书，包括《概率论教程》和《随机过程的初等概率论》，这两本书都成为该领域的经典著作。其清晰、简洁的写作风格使这些复杂的主题更容易被学习者理解，促使他的书籍在世界各地的学术项目中得到广泛采用，使他的概率论教材已经成为享誉世界的经典。北美半数以上的概率论和数理统计方面的研究生项目也都使用其《概率论教程》作为教材和博士资格考试的主要参考资料，影响了几代概率论学生。这些著作已被一代又一代的学生和研究人员使用，塑造了概率的教学和理解方式。笔者初知钟开莱先生大名，也是在大学一年级的时候被推荐阅读《随机过程的初等概率论》。当时的数学老师周先生谆谆告知：“如果读懂了钟开莱的这本初等教程，尤其是最后有关随机过程的章节，你可以直接读有关随机过程理论的任何专著，都没有什么问题了。”先生教诲，至今犹在耳际。此后负笈北美，攻读数理统计方面的学位，乃至后来从事数据和算法分析方面的实际工作，钟先生的两本经典教科书，《概率论教程》和《随机过程的初等概率论》，以及他另一本谈论概率论和位势论的小册子，“Green，Brown and Probability”，一直随身，不时翻阅。



钟开莱不仅是一位杰出的数学家，也是一位受人爱戴的老师和导师。根据数学家家谱项目统计，他在哥伦比亚大学、Syracuse 大学和斯坦福大学直接指导的博士生有 16 位，他的学生认为他是一位体贴、关心的导师，非常关心他们的数学发展。这其中的好几位，如 Cyrus Derman ，Michael Steele ，Ruth Williams 等后来都成为概率论领域的领军人物。钟开莱间接或者隔代的学术晚辈则超过四百多个博士，堪为二十世纪后半叶的概率学界领袖之一，故有“概率学界学术教父”的称誉，其影响力甚至都超越了他的研究工作。近年，因为在金融经济领域的应用，概率论迅速成为学术热门，在美国研究概率的教授，要么是钟开莱先生的学生，要么是他学生的学生。他的概率论著作被专业学术论文引用次数最多，美国数学学会的评价是，“钟的著作睿智、雅驯、精致，富有人性。” 在 2008 年由曾经的合作者和博士生主编，出版了钟开莱跨越七十年的研究论文部分选集，以庆祝他的九十岁生日。

1978 年，钟开莱和鞅理论发展人 Joseph Doob 等人访问中国，促进了概率论中国研究者和世界学者的交流，此后又多次回到中国开设短期课程和讲座，帮助年轻的中国学生有机会到美国继续深造。1981 年钟开莱和人联合发起了随机过程研讨会，讨论概率论和随机过程的前沿难题，定期在不同的大学举行，为学术思想交流和年轻人培养提供了专业社区平台。1987 年的研讨会在普林斯顿大学举行，这一年的研讨会成为庆祝钟开莱即将从斯坦福大学荣誉退休的专题会。来自法国的三位著名的概率论大家，Claude Dellacherie ，Paul-André Meyer ，和 Jacques Neveu ，专程与会发表演讲，讲述钟开莱的研究工作对法国概率论学派的深刻影响力。2010 年在中国北京大学举办了一次纪念他的国际会议。2012 年钟开莱的家属将其数学藏书捐给北大数学学院，总计超过三百本。

张扬的个性  永久的好奇心

从钟开莱早年和老师相处的例子就可以看出，他才华横溢，而个性张扬直率。普林斯顿大学概率学家 Erhan Cinlar 教授和钟开莱是长年好友，双方书信交流长达四十多年。Cinlar 评论钟开莱说，钟是那种你一辈子都很难遇到的极具才华的人物。往往你有一个什么想法，但是又觉得难以表达的时候，钟开莱已经完整清晰地表达出来了。钟开莱一辈子兴趣广泛，对许多事情都保持着强烈的兴趣。他是一个对什么都非常好奇的人，永远不厌倦自己的领域，不厌倦世界，听到见到什么，都啧啧赞叹，“啊，啊，太有趣了！”

除了数学，他广泛涉猎文学、音乐和京剧。他的古汉语功底十分扎实，有一些发表在中文刊物上的数学文章，也大段大段以古汉语行文。有一次钟开莱与沈从文会面，钟开莱指正说：你在《从文自传》中写杀人，让犯人掷爻决定生死，说犯人活下来的机会占三分之二（阳爻、顺爻：开释；阴爻：杀头），那不对，应该是四分之三（阳爻一，顺爻二：一阴一阳与一阳一阴；阴爻一）。在 1978 年后，钟开莱多次回国访问，除了数学界人士，他也与各界人士广交朋友，有许多作家、诗人、画家和书法家的老朋友。他也为他们的名声和福利奔走，张扬发声。

他在语音方面也很有天赋，会多种语言。除了中文以外，英文、法文和德文都非常流利。退休后还学习了意大利语，并用意大利语发表了一篇学术论文。他也把一本概率论英文教材翻译成俄语。笔者也有幸一次亲聆他的学术讲座。入门就看到一位头发花白，皮肤黝黑的老者，穿着一件老旧的夹克衫，烟不离手，像是一位老农。但是他一开讲，却是一口极其流利，很有修辞技巧的英语口语。他旁征博引，对所讨论问题的历史渊源和前沿进展了如指掌。要是有人记录下来，几乎不用修改，就是一篇很像样子的论文了。

钟开莱刚到美国留学，跟从当时美国概率学的一位大牛。这位也是个眼高于顶的，一见钟开莱就骂，骂得个全面啊，那简直体无完肤，还用红笔把钟开莱论文中的语法错误一一标注出来。钟开莱气坏了，这脾气上来哪管你牛不牛的，跑到图书馆把这位的全部著作都找出来，用红笔将其中的所有语法错误也一一标注。

1950 年代初，钟开莱在纽约州的康奈尔大学任教。正好彼时 Richard Feynman 也在康奈尔任教。某天两位年轻教师在某个餐馆碰上了。Feynman 也是有名的天才人物，而且锋芒毕露，一脸写满聪明。颇具竞争性的钟开莱也来劲了，就上前和 Feynman 说，咱们来个小赌局如何？我给你一道初等数学题，你如果在午餐结束前解出来了，今天的午餐我买单。否则你把我的午餐费付了。Feynman 也是一路数学竞赛拿奖拿到手软的好手，哪会把一道初等数学题放在眼里，于是欣然应局。钟开莱就写了一道初等几何题，结果 Feynman 弄了半个多小时还没有解出，最后只能认输买单。

钟开莱成名之后参加了许多国际学术会议。一次在柏林，会议茶歇时，会议主席，一个崭露头角的年轻人，走到钟开莱面前想和他聊天，结果那年轻人还没开头，钟开莱就数落开了，“主席啊，刚才发言的那个俄罗斯人，讲两句就要表扬自己，一表扬自己就要大家祝酒，发言一小时祝了十一次酒。我们不能说他，你就不能提醒提醒他吗？”钟开莱不再说话，低头吃蛋糕喝咖啡。看年轻人还没走，他又说，“看在蛋糕的份上，算了算了。啧啧，这德国人真是会做蛋糕。”钟开莱就是这样一个个性张扬直率的人，一生都保持着自己的个性。2009 年 6 月 1 日，在菲律宾罗哈斯市，钟开莱妻子的故乡，钟开莱先生在一片椰树与海风的梦境里离开了，享年 92 岁。

劳旺