徐利治：从“数学迷”谈起

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徐利治：从“数学迷”谈起

作者 | 徐利治

来源 | 原载于《在茫茫的学海中》（辽宁人民出版社，1984.6）

作者徐利治，一九二Ｏ年生，江苏省沙洲县人，吉林大学数学系教授，《数学研究与评论》杂志主编，兼中国科学院成都分院研究教授、大连工学院应用数学研究所所长。主要著作有，《渐近积分与积分逼近》、《高维数值积分》、《计算组合数学》、《数学方法论选讲》等。

（一）

一九八三年《人物》杂志第 4 期上载有一篇题名《镭锭幽封也放光——记朱梧槚》的文章，文中提到了朱和我都是“数学迷”。这里，我就借用“数学迷”为题，来谈谈我的一点学习生活经历和工作经验吧。

我小时候在农村小学读书。有一天到市镇上的文化馆去玩，听到两个大人带着钦佩的神情谈论着一位朋友的学问，说：“那人真有本事，不但精通了小代数，而且对很难的大代数也学得很透彻，会做不少难题。”什么是大代数？它究竟有多难？这在我的童心深处形成一个疑问，而且开始默默期望着自己将来有朝一日也能精通大代数。

数年以后，我从江苏洛社师范学校放假回乡路过无锡城时，有机会买到了一本陈文译的《查里斯密大代数学》，真是感到喜出望外，如获至宝。于是，我的整个暑假就用来自学那本“宝书” 。我对这本书的感情是如此之深，以致一九三七年抗日战争初期当我千里跋涉大后方时，那本书还总是跟随着我，几乎是形影不离。

那本大代数内容丰富。使我最感兴趣的篇章莫过于排列组合、或然率论（概率论初步）、数论、无穷级数和方程式论。书中还有不少引人入胜的例题及习题，我特别喜欢做那些较难的习题。有些题曾花去我不少时间，但每当我做出一道难题时，就总感到非常高兴，十分自慰。有一次我还得到了一位优秀的数学老师的鼓励。就这样，我就一步步地通过自学钻研，后来果然发展成为“数学迷”之一。顺便提到，最近我很高兴地收到翻译者送我一本才出版的《霍尔·奈特大代数》。当然，这也是一本对中学教师和高中学生特别有用的好书。

上述经验表明，年轻时精读一部好书，并肯花时间去求解难题，这是培养志趣和毅力的良好方法。事实上，独自去钻研数学书中较难的习题或问题时，只要具有锲而不舍、坚持到底的精神，就总会经常享受到“收获的愉快”。同时，必然有助于增长自己的才智和毅力。

但是，我并不赞成在缺乏充分准备的条件下，就去盲目地进攻历史上留传下来的难题，特别是数论上的一些著名难题。因为那样去硬碰，将肯定会徒劳无功，一无所得的。这里，我愿谈一点自己的失败教训。记得我在 16 岁时，曾在一个假期里花了不少时间，企图利用自己学到的代数知识去证明“费玛大定理”（即费玛猜想），那真是“初生之犊不畏虎”。当然，无论怎样努力奋斗，最后只能以失败告终。从这里得到一点教训，即青年时代的美好光阴不应耗费在不自量力的探索上。

最近，我十分高兴地见到一九八一年美国出版的，由名家克努特（D. E. Knuth） 等编著的《算法分析的数学》教本中，介绍了我在一九六五年发现的反演公式。事实上，我之所以有机会发现该公式，就是因为我在青年时代对“组合数学”的兴趣，到了 45 岁后重新复活起来的缘故。这也说明，青少年时代培养成的爱好很管事，因为它能在人的一生中起着激发作用，并可能引出新的收获。

（二）

我的大学时代是在抗日战争时期的西南联合大学度过的。那时候的生活条件非常艰苦，但那里却集中了一批国内杰出的数学家作我们的老师。我有幸能听到他们的讲课，并从他们的治学方法中学到不少宝贵的东西。记得当年有位中年教师告诉我， “学问之道在于己，又不可独学而无友。”这句话给我印象极深，差不多在我后来的数十年中，一直成为心底里的“座右铭” 。

学习知识和研究学问，养成主动性和独立钻研精神是非常重要的。回想起来，我在大学时代学到的知识毕竟是很有限的。很多较新颖的现代数学分支（如泛函分析、广义函数论、函数逼近论、计算数学等等）的有关知识，都是在我后来当了大学教师之后，为了讲课需要通过自学才学到的。“任务”是一种推动力，而且确实是“教学相长”，这些都是我搞数学工作的实际体会。因此，当我碰到大学毕业生开始参加学校工作时，我总是劝他们不要逃避教课任务，也不要强调脱产进修，而要主动积极争取多作教学工作。因为教学实践是提高自己最有效的途径。我在二十年前有一位学术助手，他每年的教学任务都很重，但是他不仅教学好，而且科研工作也突出。后来他从助教越级提升为副教授，现在已成为中年有为的教授了。这个例子说明了，人才是在实际工作中锻炼成长起来的，这好比优秀的军事人才，只有在实战中才能锤炼出来一样。

搞学问还需要寻找志同道合的朋友，经常互相切磋，才能较快地取得成效。除了找同辈人做朋友之外，年轻人还需要找老师，老师也需要找学生。在治学这件事情上，有个文化遗产的继承发展问题，所以必须尊师重道。但是又正如古代文学家韩愈所说的“弟子不必不如师，师不必贤于弟子。”因此，年长者不能倚老卖老，还要善于和年轻人合作才好。以我为例，我在科研工作上是一向乐于和年轻人合作的。这不仅有利于诱导和激发年轻数学工作者的科研志趣和潜力，也有利于使自己的科研工作开展得更有生气，相得益彰。我之所以这祥作，也是由于早年受了那句“不可独学而无友”名言的影响。

（三）

“搞学问一定要讲究方法”。这是我在大学时代从老师华罗庚教授那里学到的一句中肯之言。我听过华老的两门课，并当过他的助手。他曾多次说过：“读一本书，要越读越薄。”这意思是说，把书里的一大套理论方法弄得十分透彻烂熟，实质上就只有那么一点儿精华，需要留在脑子里。这样，自然就感到书的内容很少了，也就是说，书在脑子里变得很“薄”了。比如，高中学生会认为小学算术很简单，就那么一点儿；大学生也同样会觉得中学数学没什么，只是一点儿知识而已。这正好说明，学习过程中水平提高了，居高临下，一览无余，会把整个消化了的知识体系作为十分显然的事物概括进脑海之中。

不仅学习数学是如此，学习任何科学也一样，必须力求透彻理解，才能对原来一大套知识，做到化难为易，化繁为简，使得在头脑中只留下最精粹的部分。否则，不分主次，把什么都装进脑子里，就必然会使你感到头脑发胀，既有损于健康，也不利于知识的运用。

怎样才能对一大堆又繁又难的知识做到化繁为简、化难为易呢？对此，我和不少学术界朋友的见解是一致的，即认为关键在于发展自己的直观想象能力和分析能力，并善于通过直观、联想和分析去透视自己所学到的知识内容结构。

这里我想举一个教学上的具体例子，来说明对待抽象数学理论的不同处理方式会导致不同的认识效果。最近我在吉林大学讲授“组合数学”课程时，开始为了节省时间，我完全采用从概念到概念的纯演绎推理去讲授群论中著名的“布恩沙特引理”，结果发现有些学生就不易理解其真意。个别人甚至向我反映说，上述讲授法好比使人腾云驾雾一般，看不消庐山真面目。后来只剩下两个课时，按计划还必须把一条难度较大的“鲍利亚计数定理”教给学生。怎么办呢？我想，还得尊重人的认识规律，即必须从直观到抽象，从特殊到一般。于是我用一小时专门去分析一个具体的计数问题的解法过程，第二小时便轻而易举地把解法过程拓广成一般的命题形式，即鲍利亚定理；并比照具体例子中的分析步骤去给出一般定理的证明方法。这样，学生们就感到容易接受了，因为已经洞察到定理及证明的来龙去脉。

一般说来，学习一条数学定理，只有做到能从直观上看破其实质，那才算真懂。真懂之后，才可能使用自己的语言把它的关键要点一言道破。直观又往往来自对具体例子的观察和分析。所以学习抽象数学理论时，一定不要回避和轻视具体实例，更不要只满足于逻辑形式上的演绎论证。

其实，数学家在发现定理和论证定理之前，头脑里往往先有一些特殊的具体例子作为其直观背景。否则就不可能概括出一般形式的命题或定理来，也不可能得出一般命题的证法来。但是通常写在书上和论文里的定理及证明，却往往把那些平凡而琐碎的直观背景素材掩盖起来，这样就不易使初学者洞察其来龙去脉，也不易学到创造性的思想方法。例如十九世纪杰出的数学家阿贝尔曾批评过大数学家高斯的著述风格。阿贝尔说：“高斯像狡猾的狐狸那样，把自己在沙上走过的足迹用尾巴扫平，以致使后来人看不出他是怎样走过来的。”

当然，我们要重视学习名家的著作，更要努力去体会名家的思想方法。但正如上面所述，名家在著作里并不总是愿意把他那种并不直顺的原始性思想方法写出来。这样，就需要自己开动脑筋，运用“倒推分析法”从命题结论出发，一步步地往前探索其思路及源头。只要耐心地去下这番分析功夫，就往往能达到豁然开朗的境地。

（四）

学习科学知识的目的无非是为了应用和创造。有人说，科学知识也服务于文化生活的需要。我想，这句话是不错的，但这可以理解为知识的“广义的应用”。我认为对钻研科学知识的人来说，把目标定得高些远些，为我国的四化服务，为人类社会的进步服务，将有利于激发出经久不衰的精力和毅力，也有助于使人始终采取进取性态度去对待不断发展着的知识海洋。

这里，我还想谈谈如何以创造性态度对待数学知识的问题。无疑，数学知识作为工具应该用来创造新的价值，而在运用它去解决问题的过程中，还应该去考虑改进和发展这种工具。所以，关于数学知识的创造性态度主要表现在“不满足”上：一是在数学工具未能解决问题之前对它不满意，二是在它帮助解决问题时发现尚有不足之处或缺点。正是由于这些“不满足”，才可能引出许多问题，推动着人们不断去研究数学和发展数学。例如数学里的许多新概念和新方法，都是由于某种“不满足”才被提出来的。

回想起来，我个人从事数学工作三十多年，经常是对学到的知识感到不满足的。也正是由于这种不满足，才使得我总感到有做不完的题目，从而合作者也越来越多。我甚至感到遗憾的是，自己不懂得物理学和生物学，否则我还很想和物理学家或生物学家合作呢！

我认为年轻人开始做研究工作时，切忌好高骛远，眼高手低。为了及早获得经验和信心，最好先从较易下手的题目做起。这里有一个认识问题，即不可误认为数学问题的难易程度和实际价值成正比。事实上，数学上有许多并无什么价值的难题，它们的解决与否对数学工具的发展不起任何作用。英国已故数学家哈代曾说过：“任何一个傻瓜都可能提出使任何聪明人都解答不了的难题。”这意思是说，难题的提出不难，而且可能亳无意义。另一方面，数学上有些看来较为容易的题目及成果，有时却能通过实际应用发现其价值。

一个问题有没有意义？做出成果后有没有价值？怎样去判定应用价值？这又需要以实践效果为依据。巨此，任何一项即使是实践性很强的数学研究工作，其价值如何，最终都得通过实践来检验。

但是关于实践效果的预测和估计，那是需要凭借历史眼光的。因此，我认为凡是从事数学研究工作的年轻同志们，都有必要阅读一两本数学史。例如梁宗巨编著的《世界数学史简编》和瑞特著述的《希耳伯特》（“Hilbert”）等书都是值得一读的。

从事数学的创造性工作，还涉及一系列具体而细致的科学方法论问题。在这里我乐愿推荐美籍匈牙利数学家鲍利亚的三部重要著作，即《数学的发现》、《归纳与类比》和《数学上的似真推理》。上述的第一部书（分上下两卷）已在我们国内翻译出版，我相信它将有助于激发国内大批好学青年的智慧火花。

我自己也写了一本《数学方法论选讲》。书中的第一讲谈到了微观的数学方法论和宏观的方法论问题。第十讲专门讨论了数学中发明创造的心智活动的规律问题。我希望这本拙著，能成为好学深思的年轻人和数学教师们的一份精神食粮，并希望得到读者们的批评指正。

徐利治 好玩的数学 2024 年 12 月 18 日 07:05 江西