【科普】平方加一数列的质因数分解取得重大进展

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【科普】平方加一数列的质因数分解取得重大进展

作者：Erica Klarreich 梧桐阅览 2024 年 10 月 16 日 09:02 湖北

关于质数的新证明揭示了加法与乘法之间微妙的关系，并让人们对著名的 abc 猜想的进展充满期待。


加法和乘法各自都是相对简单的运算。但当两者结合时，会引发一些深奥的问题，数学家们至今仍在努力解答。

2023 年 11 月的一个早晨，数学家赫克托·帕斯滕终于通过使用一个久经考验的效率技巧——拖延，解决了困扰他十多年的问题。

他本应该为智利圣地亚哥天主教大学的数论课编写期末考试卷。为了逃避这个任务，他开始再次思考他最喜欢的数列之一：2, 5, 10, 17, 26，依此类推，这是所有形如 n^2+1（其中 n 是整数）的数的列表。

一个多世纪以来，数学家们使用这个数列来探索加法和乘法之间复杂的关系，而这一张力是数论的核心所在。关于乘法的一些基本问题——比如数如何分解为质数——一旦加上加法的因素，就会变得更加深奥和具有挑战性。比如，数学界一个最大的未解问题问的是，是否每个大于 2 的偶数都是两个质数的和（哥德巴赫猜想）；另一个问题则问，是否存在无穷多对只相差 2 的质数，例如 11 和 13（孪生素数猜想）。

n^2+1 数列是研究加法与乘法关系的一个很好的起点，因为它结合了最简单的乘法之一（平方一个数）和最简单的加法之一（加 1）。但这并不意味着该数列本身是简单的。数学家们至今仍无法回答一些关于它的基本问题，比如它是否包含无穷多个质数。“我们很快就会触及知识的边界。”蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔说。当数学家们设法稍微推进这一边界时，他们开发的技术往往能阐明关于加法和乘法的更广泛的问题。

帕斯滕当时试图证明，这个数列中的数必须始终至少有一个相当大的质因子。就在他应该写期末考试卷的那个早晨，他终于成功了，他想出了如何将 n^2+1 的质因子信息嵌入到一个被称为椭圆曲线的方程结构中。

那天午餐时，他向他的妻子、数学家娜塔莉亚·加西亚-弗里茨描述了他的证明。鉴于他的结果出乎意料地强有力，她告诉我应该多次检查这个结果。帕斯滕说：“那天下午我做了检查，定理依然成立。”


赫克托·帕斯滕花了十多年时间试图解决一个涉及加法与乘法交界处的数学问题。他最终成功了，而这一切源于他决定拖延为自己的一门课编写期末考试卷。

唯一的问题是：帕斯滕没有准备好给学生的期末考试。他于是让学生写一篇关于任何他们感兴趣的主题的文章。“结果证明这反而促成了非常高质量的作业。”他说。

帕斯滕将他的证明提交给了《Inventiones Mathematicae》，这是数学领域最著名的期刊之一，并且在仅仅一个多月内就被接受了——以数学领域通常的发表标准来看，这几乎是眨眼之间的事。“这是在一个基本上停滞了 100 年的问题上取得的令人愉快的进展。”滑铁卢大学的卡梅伦·斯图尔特说。数学家们希望这一进展也能够推动相关数列领域的进步。

帕斯滕的技术还使他在处理 abc 猜想的某些特例上取得了进展。abc 猜想是另一个研究加法与乘法交互关系的问题，同时也是数学领域最著名、最具争议的未解难题之一。“这一领域中的新想法（且正确的）一直很稀缺。”格兰维尔在邮件中写道，“他方法的独创性和前景值得广泛关注。”

大质数

如果一个数列中的数越来越大，这并不能保证它们的最大质因子也会随之增大。以数列 n^2 为例，1、4、9、16 等等。在这个数列中，质因子较小的数很容易找到。例如，任何在这个列表中的 2 的幂次图片（如 4、16、64、256、1024 ……）都只有一个质因子：2 。

但是当你给这个数列中的数加上 1 时，“你完全破坏了你对质因子的所有已有认知。”帕斯滕说，“质数的表现变得非常混乱。”

1898 年，卡尔·斯特默证明，与 n^2 数列不同的是，当 n 增大时，n^2+1 数列中的数的最大质因子趋向于无穷大。斯图尔特说，这一发现表明“有一些有趣且不寻常的事情正在发生。”


20 世纪 30 年代中期，数学家库尔特·马勒（上图）和萨瓦达曼·乔拉各自独立证明了一个关于数列中最大质因子增长速度的界限。新的研究标志着他们成果的首次重大改进。

但斯特默未能弄清楚 n^2+1 的质因子增长速度——这是刻画该数列行为的一个自然的下一步。

如果你开始计算这个数列中的数，大多数似乎至少有一个非常大的质因子。但偶尔也会有一个巨大的例外。例如，数列中的一个数 586 0341 8750 8450 有一个质因子为 677 4961 7053 。但数列中的下一个数 586 0342 3592 4737 的最大质因子却只有 89 。正是这些例外让这个问题变得困难。

在 20 世纪 30 年代中期，萨瓦达曼·乔拉和库尔特·马勒各自独立证明了，对于任意的 n ，n^2+1 的最大质因子必须至少与 log(logn) 一样大。但 log(logn) 增长得非常缓慢——如果你绘制它的图表，用肉眼看几乎是平的。数学家们怀疑，n^2+1 的最大质因子实际上增长得快得多。但他们无法证明这一点。

2001 年，斯图尔特和香港科技大学的于昆锐开发了一种新的方法，用于研究数列中的质因子，使用了一个称为超越数理论的数学领域。两年后，朱利安·哈里斯托伊找到了如何将他们的方法应用于 n^2+1 数列，从而略微改进了乔拉和马勒的结果。

但从那时起，这个问题陷入了僵局。“我们很久以来一直需要一个新的突破点。”格兰维尔说。

小指数

帕斯滕已经在这个新突破点上耕耘了十多年。2012 年，当他还是安大略省金斯顿女王大学的研究生时，他的导师拉姆·穆尔蒂建议他关注探讨加法与乘法交互关系的问题。

数论学家研究这种交互关系的最有力工具之一是将数编码为一种称为椭圆曲线的方程。例如，你的数可能会出现在方程的解中，或出现在一个相关的计算中，称为判别式。通过合适的编码，数学家们可以利用椭圆曲线的丰富结构，并对相关的对象使用特殊的工具，称为模形式。“只要你能引入那些模形式，模形式理论非常美妙，它就能带来大量信息。”巴黎城市大学的马克·亨德里说道。

多年来，帕斯滕开发了一种新理论，涉及模形式及相关的实体，称为志村曲线，这使他能够解决穆尔蒂给他的许多问题。“但我在 n^2+1 问题上完全没有进展，绝对没有。”他说，“这困扰了我很多年。”

在那个 11 月的早晨，帕斯滕本应编写考试题，而 n^2+1 问题不仅仅是他逃避工作的一种方式。那年早些时候，他的父亲去世了，帕斯滕发现自己转向数学寻求安慰。“我发现数学在那时候真的很有帮助。”他说，“数学不仅仅是为了证明定理——它也是与现实世界互动的一种方式，或许吧。”

直接控制 n^2+1 数列的质因子似乎太难了，所以帕斯滕很早就将目标转向一种更间接的方式：控制质因数分解中的指数。如果你在分解一个大数，它可能由小质数的高次幂或大质数的低次幂组成。但它不可能由小质数的低次幂组成——那样数不够大。因此，如果你能证明指数很小，那么至少有一个质数必须很大，这正是帕斯滕想要证明的。

当帕斯滕盯着前一天黑板上的一些计算时，他突然意识到，他也许可以通过构造合适的椭圆曲线来控制 n^2+1 的质因数分解中的指数。经过一些实验，他找到了一个合适的方程：y^2=x^3+3x+2n ，其判别式为 n^2+1 乘以一个因子 -108。

通过将他的志村曲线理论应用于这个特定的椭圆曲线，他可以证明 n^2+1 的指数积必须相对较小。这并不一定意味着所有指数都必须很小，但它给了他足够的控制力，使他能够结合斯图尔特和于昆锐使用的超越数理论方法。通过将这两种技术结合起来，他证明了 n^2+1 的最大质因子必须至少大约是——这是乔拉和马勒在 20 世纪 30 年代发现的估计值的平方。帕斯滕的新增长率远高于之前的纪录，尽管数学家们怀疑实际的增长率可能还要更高。

即便如此，“这是一个显著的进步。”亨德里说。

帕斯滕还能够利用他的技术改进某些情况下 abc 猜想的估计，该猜想表示如果三个互不共享质因子的整数 a、b 和 c 满足方程 a+b=c ，那么它们的质因子的乘积必须相对于 c 来说是很大的。这个猜想是数论中最重要的猜想之一，已经成为了长达十年的争议的中心：数学家望月新一声称他已经证明了这个猜想，但大多数数学界人士对此表示不同意。帕斯滕的工作代表了一种完全不同的方法。尽管他的结果距离完全证明整个猜想还有很远，但在某些方面，它代表了几十年来的第一次重大进展。“我觉得 abc 猜想是一个非常僵化的话题。”格兰维尔说道。

在乔拉和马勒 90 年前提出他们的界限之后，数学家们逐渐为一个无限系列的相关序列（如 n^2+3 或 n^5+2 ）建立了相同的界限。研究人员可能会尝试将帕斯滕的新界限应用于同样的情况，同时探索他的方法对其他加法和乘法交互问题的影响。“这种非常进取的新颖性使得这个前景非常令人兴奋。”哈佛大学的巴里·马祖说道。

从这些探索中会产生什么成果，很难预料。“这就是原创性的难题。”格兰维尔说，“但他肯定得到了些非常酷的东西。”

中文翻译编辑校对：酉木木

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