正七边形内求角度

ccmmjj126

正七边形边长等于2，黄色面积等于10，求黄色左下角度。

我做了一下，发现计算复杂，找不到特殊角，故求助。

天山草

这题估计必须列方程、解方程。

王守恩

直角边 = x,y(没限制x>y),  斜边 = 2 + 2*2 Cos[2 Pi/7]，x*y =...,  所求 ? = a 不是特殊角。

N[Solve[{x^2 + y^2 == (2 + 2*2 Cos[2 Pi/7])^2, x*y == 20 - 2 Sin[2 Pi/7] (4 + 2*2 Cos[2 Pi/7]), ArcTan[x/y] + 2 Pi/7 == a, x > 0}, {x, y, a}], 20]

{x -> 2.8027011594257333065, y -> 3.5129098435688427883, a -> 1.5710136274059979211},
{x -> 3.5129098435688427883, y -> 2.8027011594257333065, a -> 1.7949785014402091201}

王守恩

\(直角边 = x,y,\ 斜边 = 2 + 2*2\cos(2 \pi/7),\ 所求 ? =2\pi/7+ a \)

\(2*直角三角形面积= 2*10 - 2\sin(2 \pi/7) (2+2 + 2*2\cos(2 \pi/7)\)

\(2*直角三角形面积=x*y=x*斜边\sin(a)=y*斜边\cos(a)\)

\(x*y=y*斜边\cos(a)=>x=斜边\cos(a)\)

\(x*y=x*斜边\sin(a)=>y=斜边\sin(a)\)

\(x*y=斜边\sin(a)*斜边\cos(a)\)

\(斜边\sin(a)*斜边\cos(a)=2*10 - 2\sin(2 \pi/7) (2+2 + 2*2\cos(2 \pi/7)\)

\(变形。\frac{\sin(2 a)}{2} =\frac{2*10 - 2\sin(2 \pi/7) (2+2 + 2*2\cos(2 \pi/7)}{( 2 + 2*2\cos(2 \pi/7))^2}= \frac{5 - 2 \sin(4 \pi/14) - \sin(8 \pi/14)}{3 + 4 \cos(4 \pi/14) + 2\cos(8 \pi)/14)}\)

往下怎么走？

波斯猫猫

可考虑：[(tanα)^2+1]/tanα=(x^2+y^2)/(xy).

ccmmjj126

我认真研究了这道题，发现这是个坑。根本没有特殊角。我用计算器模拟，有一个近似答案就是直角。对面积10来说有万分之几的误差。