双曲复数

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双曲复数

原创 sinarcsin 形貌 2024 年 09 月 27 日 13:29 四川

双曲复数，是异于复数而对实数所做的推广。

定义

考虑数 z = x+jy ，其中 x,y 是实数，而量 j 不是实数，但 j^2 是实数。选取 j^2 = -1 ，得到一般复数。若选取 j^2 = 1 的话，便得到双曲复数。

加法和乘法

定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：

(x+jy)+(u+jv) = (x+u)+j(y+v)

(x+jy)(u+jv) = (x+jy)u+(x+jy)jv = xu+jyu+jxv+(j^2)yv = (xu+yv)+j(xv+yu)

共轭、范数

对于 z = x+jy ，其共轭值为 z* = x-jy

对于任何双曲复数 z,w，

(z+w)* = z* + w*

(zw)* = z* w*

(z*)* = z

可见它是自同构的。

定义 z = x+jy 与 w = u+jv 的内积为

<z,w> = Re(zw*) = xu-yv

若 <z,w> = 0 ，就称 z,w（双曲）正交。

双曲复数的平方范数（范数的平方）就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）：

||z|| = <z,w> = zz* = z*z = x^2-y^2

这个范数非正定。可以证明：

||zw|| = ||z|| ||w||

除法

除了 0 之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

z^(-1) = 1/z = z*/(zz*) = z*/||z||

由此可见，当且仅当其平方范数非零时双曲复数可逆。

欧拉公式

双曲复数也有欧拉公式（三角函数的欧拉公式；用幂级数证明欧拉公式）



其形式与复数的欧拉公式非常相似。

双曲旋转与狭义相对论

双曲复数跟双曲函数（三角函数的近亲——双曲函数）之间的关系类似于复数跟三角函数之间的关系（同类三角函数与双曲函数间的相互转化）。复数可以表示旋转（复数的几何意义），双曲复数也可以表示双曲旋转。1848 年 James Cockle 提出了双曲复数。1882 年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。20 世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的洛伦兹变换（洛伦兹变换）的工具，因为不同参考系之间的速度变换（相对论速度变换）可由双曲旋转转化。

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