三角形的三边长 a,b,c 满足 abc=8，求其面积的取值范围

ccmmjj126

如标题。

波斯猫猫

思路：三角形三边长为a,b,c且满足abc=8. 显然，8S^3=(abc)^2.sinAsinBsinC，即S^3=8sinAsinBsinC，

故S^3=8sinAsinBsinC≤8[(sinA+sinB+sinC)/3]^3，即S≤2(sinA+sinB+sinC)/3≤(2×3√3/2)/3=√3，

即0＜S≤√3.(当且仅当A=B=C=60°时等号成立)

注：sinA+sinB+sinC≤3√3/2恒成立.

波斯猫猫

思路2：三角形三边长为a,b,c且满足abc=8. 显然，8S^3=(abc)^2.sinAsinBsinC，即S^3=8sinAsinBsinC，

故，S^3=8sinAsinBsinC=4[cos(A-B)-cos(A+B)]sinC≤4[1+cosC]sinC=4sinC+2sin2C.

而由(4sinC+2sin2C)′=4cosC+4cos2C=0，解得cosC=1/2，cosC=-1（舍去），即C=60°.

故，S^3≤4sinC+2sin2C≤4×√3/2+2×√3/2=3√3，即0＜S≤√3.(当且仅当A=B=C=60°时等号成立)

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

补充一点：

本题要求的是三角形面积的取值范围，除了给出面积的上限 √3 外，还应说明为什么面积的下限是 0 。

其实，可很容易地举出下面这样的例子：

令三角形边长 a=2×4^(1/3) ，b=c=4^(1/3) ，这时显然满足 abc=2×4^(1/3)×4^(1/3)×4^(1/3)=8 。

因为这时 a=b+c ，三角形退化成一段二重叠加的线段，所以三角形的面积为 0 。

当然，严格说来，这种退化的三角形，不能算是三角形。

但可以使三角形无限接近于这种退化状态，使面积的下限无限趋近于 0 。

ccmmjj126

波斯猫的解答非常好。谢谢！这是我在做如下这道题目时变化而来的。这题我用了三边关系不等式的放缩法，想变换一下条件却发现这种做法无效。没想到三角转化后仍有不等式链。

波斯猫猫

三角形的三边长a,b,c满足abc=8. 显然，2S=absinC=8sinC/c，
即S=4sinC/c(边c及对角C的二元函数)=2/r (三角形外接圆半径r的一元函数)，
这该如何应对？

ccmmjj126

波斯猫猫 发表于 2024-10-3 19:06
三角形的三边长a,b,c满足abc=8. 显然，2S=absinC=8sinC/c，
即S=4sinC/c(边c及对角C的二元函数)=2/r (三角 ...

这大概就是从abc=8，推导外接圆半径 r 的取值范围的问题了。