算术基本定理的应用—— 2 的平方根是无理数

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算术基本定理的应用—— 2 的平方根是无理数

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 06 月 19 日 07:30 陕西

自从欧几里得在公元前 300 年左右给出 2 的平方根是无理数后，陆续又发展了很多中证明，在这期推送中我们引入算术基本定理这一工具，作为欧几里得原始证明的替代，这样做有几个好处，比方说：

● 证明更简单（当然这是我的理解，也有可能是更复杂了)

● 事实上应用这种方法我们得到的结论更强，它可以被用来证明任何整数值的 w 次方根要么是整数，要么是无理数这个命题。

好了，让我们开始吧。

反证法

我们将使用反证法。我们首先假设 2 的平方根是有理数，然后证明这会导致矛盾，因此根号 2 不可能是有理数。首先根据有理数的定义，如果根号 2 是有理数，必定存在一些正整数 a 和 b ，使得：

化简一下，两边同时平方可得：

因此，要使根号 2 为有理数，必须存在正整数 a 和 b ，使得：

如果我们从这出发可以导出一个矛盾，那么我们就证明了根号 2 不可能是有理数，因此一定是无理数。

引入算术基本定理

根据算术基本定理，每个大于 1 的正整数都可以唯一地表示为素数的乘积（不计次序）。例如：

该定理告诉我们两件事。第一，任何大于 1 的正数都可以表示为一个或多个素数的乘积。第二，它告诉我们，对于任何特定的数字，只有一种方法可以做到这一点。例如，45 可以表示为 3 的平方乘以 5 ，并且没有其他方法可以将 45 表示为素数的乘积。当然这仅仅适用于大于 1 的数字。

对于许多数字来说，同一个素数可能会多次作为因数出现。例如，1960 有三个素因数为 2 ，两个素因数为 7 。这些可以写成重复的乘法或幂（上述示例中均有显示）。对于本文而言，将它们表示为幂更为有用，因此从现在开始我们将使用该符号。

这里我们引入一个术语叫阶数，即：每个素数在因式分解中出现的次数称为该素因数的阶数。因此，在 1960 这个例子中，我们会说 2 是 3 阶素数，5 是 1 阶素数，7 是 2 阶素数。我们也可以说 11 是 0 阶素数，因为它在因式分解中根本没有出现。借助阶数的概念我们很容易重新表述算术基本定理，一般来说，我们可以将任何大于 1 的正整数 n 表示为一组素数 p(i) 的乘积，每个素数阶数为 r(i) ：


使用素因数来计算数字的平方

整数 n 的平方可以通过将 n 乘以自身来得出：

因为是有限项的乘积，我们可以重新排列，将每个素数的每对素因数分组：

利用指数的运算律，当我们将同一底数的幂相乘时，我们只需将指数相加：

在我们的例子中，指数相等，因此我们得到：

因此，从上面的等式可以看出，要计算 n 的平方，我们需要取 n 的素因数，并将每个幂都翻倍就好了。但我们从中得到的真正重要的是，对于一个完全平方数（某一个整数的平方），每个素因数的阶数（指数）都是偶数。例如：


证明 2 的平方根是无理数

根据之前的反证法，我们知道：

从算术基本定理还知道，两个正整数 x 和 y 要相等，它们必须具有相同的素因数。

具体而言，如果 x 有 2 作为 m 阶因数（即，如果 2 在分解因数时出现 m 次），则 y 也必须有 2 作为 m 阶因数：

当然，所有其他素因数也必须具有相同的阶数。但我们只考虑 2 的幂，它们如果不同，那么就足以证明 x 和 y 不相等。现在回想一下，对于一个完全平方数，我们刚刚说明了每个素因数的阶必须是偶数。这意味着对于一个平方数，素因数 2 的阶必须是偶数：

当然，阶数可以为零，这意味着 2 根本不是素因数，但零也是偶数。对于 b 平方，素因数 2 的阶数也必须是偶数：

但是 2 乘以 b 的平方呢？由于我们乘以了 2 ，所以此时素因数 2 的阶一定是奇数：

现在让我们比较一下 a 和 b 项，一开始我们便知道：

2s 必须是偶数，而 2t+1 必须是奇数，因此这两个值永远不可能相等。这意味着，对于 a 和 b 的任何正整数值，a 平方永远不可能等于 2 乘以 b 平方。这就证明 2 的平方根不可能是有理数，因此必定是无理数。

其他数的平方根的证明

很容易看出这可以应用于其他数字。例如，3 的平方根是有理数吗？如果我们遵循与之前相同的逻辑，要求我们找到整数 a 和 b ，使得：

这次，我们可以利用 a 的平方必定是 3 的偶数次方，而 3 乘以 b 的平方必定是 3 的奇数次方，因此 3 的平方根又不可能是有理数：

4 的平方根是有理数吗？当然，我们知道它是有理数！它就是 2 ，但可以使用之前的相同逻辑来说明这一点：

注意，我们已将 4 写成 2 的平方。之前，不需要这样做，因为这些值（2 和 3）本来就是素数。在这个例子中，我们再次关注 2 的幂。和前面一样，我们观察到 a 平方必须包含 2 的偶数次幂，b 平方必须包含 2 的偶数次幂。但是在这种情况下，4 乘以 b 平方必须包含 2 的偶数次幂：

所以这一次，原等式的两边都包含 2 的偶数次方，所以有可能找到解。事实上，它可以通过 a = 2 , b = 1 来求解，这意味着 4 的平方根是 2 。

一般来说（这里没有证明），要确定整数 x 的平方根是否是有理数，首先要找到它的素因数。如果所有素因数的阶都是偶数，则 x 是完全平方数，因此，此时平方根不仅是有理数，更是一个整数。如果任何素因数的阶为奇数，则平方根为无理数。

立方根及 n 次方根的证明

2 的立方根是有理数吗？我们不会在这里详细讨论这个问题，但我们会概述一下为什么它不是有理数的基本思想。这与平方根的证明非常相似。这次我们需要找到正整数 a , b ，使得：

a 的立方必须包含 2 的幂，且该幂是 3 的倍数（同样，可以为 0）。类似地，b 的立方值必须包含 2 的幂，且该幂是 3 的倍数。2 乘以 b 的立方值必须包含 2 的幂，且该幂是 3 的倍数加 1 ：

所以 a 的立方不可能与 2 乘以 b 的立方具有相同的质因数，所以它们不可能相等，因此 2 的立方根一定是无理数。

整数值的 w 次方根要么是整数，要么是无理数

我们知道，正整数的平方根有时是整数，有时不是。当结果不是整数时，我们已经看到它可能是无理数。实际上我们可以更进一步说，结果要么是整数，要么是无理数。也就是说，它不可能是有理分数。我们可以针对一般情况证明这一点，同样是反证法：

假设 a/b 已简化为最简单的形式，即 a 和 b 除了 1 之外没有其他共同素因子（既约分数，最简分数）。然后我们将两边均计算为 w 次幂：

现在，由于 n 是正整数，并且 a 和 b 没有共同素因子，因此 b 必须等于 1 ，否则 n 就不是整数。因此，正整数 n 的 w 次方根不可能是有理分数。所以它只能是整数或无理数。



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