当美国总统证明勾股定理时

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当美国总统证明勾股定理时

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 05 月 07 日 08:02 陕西



詹姆斯·加菲尔德可能是美国历史上最令人难忘的总统之一。曾经有一项研究要求参与者说出尽可能多的总统的名字来衡量其难忘程度，加菲尔德的名字则多次被提及，但我想让他比较难忘的原因，可能是他在担任总统不到一年后就被无政府主义者枪杀而去世。

尽管他的总统生涯缺乏纪念性，但他的生活却非常充实。他在贫困中长大，自学法律，最终成为一名律师。然后，他在当地一所大学教授各种科目，当然也包括数学。南北战争期间，他作为将军加入了联邦阵营，并参加了几场重要的战斗。战后，他通过俄亥俄州的选区当选为众议院议员，并在连任数届后于 1880 年当选总统。而在美国的历史上他仍然是唯一一位直接从众议院当选的美国总统。

他的一生都是数学的狂热爱好者，这也是引起我们注意的原因，或许你无法想象他竟然可以同时用左手写拉丁文和右手写希腊文！这真的震惊了我们这些普通人，即使在当选国会议员后，他也没有停止对数学的爱好，并提出一个有关勾股定理的证明，也是我们今天的主题。这个证明十分简单，不妨让我们来看看这位总统的想法。



首先，让我们重述勾股定理。这是一个强大的等式，可以说明直角三角形的边长之间的关系。我有一张上面显示的直角三角形的图片。变量 a 、b 和 c 指的是边长，A 、B 和 C 指的是角度。根据直角三角形的定义，C = 90° 。



勾股定理告诉我们：



这个定理已经为人所知 2000 多年，并被多个文明独立发现。我们中国人称它为勾股定理，西方世界则更喜欢毕达哥拉斯定理的称呼。有很多方法可以形象化这种关系。其中之一是非常直观的。比方说考虑边长为 a 的正方形的面积等于 a^2 ，如下图所示：



根据勾股定理，我们知道粉红色的面积等于红色和蓝色面积的总和。事实上该定理的大多数证明都涉及以巧妙的方式操纵几何形状，加菲尔德的版本也不例外，为了理解他的证明，我们需要以一种新的方式来看待梯形：



梯形被定义为只有一组对边平行的凸四边形，最常见的梯形图片看起来像上图，有关于梯形的面积，我们知道有下面的公式：



其中 a 和 b 是两条平行边的长度，h 是这些边之间的距离，如第一张图像所示。为了证明毕达哥拉斯定理，加菲尔德创造性地将三个三角形排列成一个梯形。让我们看看加菲猫所做的构造。



上图将三个三角形放在一起。请注意，其中两个三角形是完全相同的直角三角形，只是彼此旋转。左边和右边的边长均为 a 、b 和 c ，中间的三角形有两条边长为 c 和一条未知的边长。这三个三角形定向形成一个梯形；我们还知道中间的三角形是直角三角形。这是因为以下关系：



好了，现在我们如何得到这个梯形的面积呢？答案是使用前面描述的梯形面积公式：



然而，我们可以用不同的方式得到 K 。相应地，我们将三个三角形的面积相加。因为它们都是直角三角形，所以这是相当简单的组合。



现在我们可以将这两个面积表达式设置为彼此相等，得到以下方程：



剩下的步骤就是化简了：



我希望你学到了一些东西！詹姆斯·加菲尔德是一位迷人而又悲剧性的历史人物。如果他没有这么早就被杀的话，也许他会被更好地铭记。幸运的是，他能够在英年早逝之前提供他的政治服务以及这个精彩的证明。好了，今天就到这里吧。



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