从几何的角度来看正弦函数的导数

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从几何的角度来看正弦函数的导数

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 06 月 23 日 07:30 陕西

不管是在高中，还是大学很多人已经了解下面这个结果，即正弦函数的一阶导数是余弦函数：



在这期推送中，我们将尝试从几何的角度来说明这个结果，以便对这个问题提供一种不同的看法。

单位圆内的正弦

下面这张图显示了以 O 为中心的单位圆的一部分：



直角三角形 OPA 的圆心角为 θ 。根据正弦值的定义，我们得出下面的公式：



这里我们将 AP 的长度记为 y ，由于 OA 是单位圆的半径，所以它的长度是 1 。因此 θ 的正弦很简单，即



还有一点值得注意的是 X 和 A 之间的圆弧长度为 θ 。这可以由圆的弧长公式看出，我们已经知道这段圆弧所对的圆心角为 θ 。圆弧的长度可以由 rθ 给出（这里假设 θ 以弧度为单位），由于单位圆的半径为 1 ，因此圆弧的长度就是 θ 。过会我们会用到这个结果，因此提一下。

增加 θ

当我们将 θ 稍微增加 Δθ 时，会发生以下情况：



我们在图中标记了相关的点，我们之前注意到，AP（ A 到 x 轴的垂直高度）等于 θ 的正弦。即



B 到 x 轴的垂直高度为 BQ 。我们将这个新距离称为 y + Δy 。同样是在单位圆上，根据正弦的定义，这等于 θ + Δθ 的正弦，即：



现在，我们可以写出正弦 θ 随 θ 变化的差分公式：



当 Δθ 趋向于零时，上面的极限给出了正弦函数的导数：



如果我们可以找到 Δy 作为 θ 的函数的表达式，我们就应该能够求解右边的表达式来找到正弦函数的导数。

寻找 Δy 的表达式

现在我们将添加一个额外的点 C ，来构造一个三角形 ABC 。我们将 C 垂直放置在点 A 上方，并与点 B 水平对齐：



关于三角形 ABC ，我们做一些小观察：

● 由于 AC 是垂直的，而 BC 是水平的，所以角 C 必定是直角。

● 由于 A 到 x 轴的距离为 y ，而 B 到 x 轴的距离为 y + Δy ，因此边 AC 的长度为 Δy 。

● 由于我们之前讨论过的原因，弧长 AB 的长度为 Δθ 。

当 Δθ 趋向于零时，圆弧 AB 趋向于一条直线，而且我们知道那条直线是圆的切线,此时直线 AB 的长度趋向于圆弧 AB 的长度，即 Δθ 。



而且，由于圆的切线与半径相交于 90 度，因此角 OAB 趋向于直角。通过简单的几何图形很容易验证，当 OAB 为直角时，角 BAC 等于角 AOP ，即 θ 。

求正弦的导数

我们已经做好了我们所需的一切准备，关于三角形 ABC ，我们已经了解了它的一切。



上图表示当 Δθ 趋向于零时三角形的形状。在三角形中，基本三角函数定义告诉我们：



我们从前面已经知道：



这就证明了：



尽管这种方法不是很严谨，但它确实提供了另一种角度让我们来看待正弦函数的导数。好了，今天就到这里吧。



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