当我们应用牛顿-拉夫森法寻找复多项式(例如 z 立方减 1)的根时,就会出现所谓的牛顿分形。但是我们如何将这种方法应用于复数多项式呢?由牛顿-拉夫森法的公式,我们需要计算复多项式的微分,这其实是复分析的内容,本身也是一门很优美的学科,我们不会在这里详细展开,这里对于 z 的立方,它的微分法则与实数的完全一致:
我们可以将原始的牛顿-拉夫逊公式应用于 z 的立方,如下所示:
z 立方的牛顿分形
如果我们取复平面上的任意点 z 作为我们的初始猜测点,然后应用牛顿-拉夫森公式,找出它收敛于哪个根。在下面的图中,已针对复平面中的不同点做了计算,分别标有红色、绿色或蓝色,以指示其汇聚的位置: