利用图的结构来解释矩阵乘法，复数，以及欧拉恒等式

luyuanhong

利用图的结构来解释矩阵乘法，复数，以及欧拉恒等式

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 06 月 20 日 07:30 陕西

我记得自己在大学学习线性代数的时候，我得强迫自己从抽象的向量空间角度来理解，这样做当然有一些好处了，比方说它深刻，简洁，更重要的是如果你把线性代数当作有限维的泛函分析，那么后面再学真正的泛函分析的时候会变得容易一点。但这样做也会带来一些弊端，从统计数据上来来看，大学时学习数学的人最终都都要离开这个行业，那种抽象的思考方式很难在今后的工作中用到。

线性代数作为数学中可能是最广泛被使用的工具，它实际上是非常有魅力的学科，它在很多地方都发挥着关键的作用，有一些学科，尤其和矩阵深度绑定，比方说图---具有所谓节点和边的数学对象。

长期以来数学家研究图，一种有力的方法就是将图转化为矩阵，保留其拓扑结构，然后然后使用丰富的线性代数理论（如特征理论、子空间理论等）来描述有关图的信息。但这其实是一种等价关系。我们也可以把矩阵转化为图，通过图来理解矩阵。例如，矩阵



可以用图表示为



其中图中的三个节点代表矩阵的三行和三列，节点之间的加权和有向边对应于矩阵的元素。例如，A1 和 A2 之间有一条权重为 5 的边，这对应于矩阵第一行和第二列的元素为 5 ，并且这种模式继续下去。从节点发出的边对应于行，进入节点的边对应于列。这让我们也可以将向量表示为图。

事实上，我们很快就会意识到，这种等价性意味着我们可以对图做一些奇怪而令人兴奋的事情，比如对它们应用函数、求它们的“特征图”、将不同的图相乘、找到图的行列式等等。我们甚至可以使用图来可视化实数和复数，我们将在本文后面看到这一点。

利用图来解释矩阵乘法

图给我们的最大的启示是，矩阵相乘实际上等同于遍历图中的某些路径！你们中有些人可能还记得将两个矩阵相乘的公式。假设我们有两个一般的 2×2 矩阵，将它们相乘可得到以下看起来可怕的公式：



其中所有字母都代表实数。让我们从图的角度来看待这一点，从左侧开始。我们有两个相应的图表示我们要相乘的矩阵：



请注意，红色节点是同一个节点，黄色节点也是同一个节点，但出于演示的原因，我们选择将它们分成两个不相连的图！分别将它们称为“顶部图”和“底部图”。

将它们相乘的规则如下：为了找到矩阵乘法结果的第一行和第一列的入口值，我们从节点 A1 开始，并检查使用从顶部图（对应左矩阵）开始到底部图（右矩阵）结束的两个“跳转”回到 A1 本身的方法。

因此，我们可以沿着上图的路径 a 走，然后沿着下图的路径 e 走，这样就可以回到 A1 节点。另一种方法是先走路径 b 然后再走路径 g 。这两条路径是唯一能让我们通过两次跳跃从 A1 到达自身的组合，因此左上角（第 1 行第 1 列）的元素值为 ae+bg 。

让我们再计算一个元素，比如左下角（第 2 行第 1 列）的元素。为此，我们需要从顶部图表开始找到从 A2 到 A1 的路径。从 A2 到 A1 可以先去 A2 的路径 c ，然后从 A1 到它自己取路径 e 。我们也可以先取 d ，然后取 g 。元素现在由 ce+dg 给出。重点是，现在我们有了一种方法可以可视化矩阵和矩阵乘法。

现在我们可以定义如何通过图乘法将两个图相乘。将上述两个图相乘得到的图由以下公式给出，这还可以帮助我们理解复数。



将复数理解成图

实数和复数可以用矩阵表示。例如，实数 a 可以用矩阵表示



实数乘法等同于矩阵乘法，加法等同于矩阵加法。实数 a 可以由下面的图来表示：



想要利用图来表示复数，让我们先看看虚数单位 i 可以如何表示，如下图所示（虚数单位的表示）



i 最根本的性质莫过于 i^2=-1 ，让我们来验证这个性质，通过我们刚刚说明的图的乘法来求一下图的平方，回忆一下图的乘法只是遍历一下图的某些路径，这里求的是平方，我们只需要在一个图上追踪路径就好。

具体来说，从 A1 到自身有一条路径，经过 -1 然后是 1。因此，从 A1 到自身的最终权重是这些权重的乘积：-1 。没有从 A1 到 A2 的路径需要恰好 2 次跳跃，如果我们必须使用两次跳跃，也没有从 A2 到 A1 的路径。从 A2 到自身的唯一路径是经过 1 然后是 -1 ，这再次得到 -1 。总的来说，我们得到平方后我们得到以下的图：



这恰好是实数 -1 的图表示，我们也验证了 i^2 = -1 。所以形式为 a + bi 的复数可以通过将表示 a 和 bi（只需将表示 i 的图边权重乘以 b 就好了）的图相加来表示，方法是将节点粘合在一起以形成下面的图（复数的图表示）



函数作用到图上

在复分析中我们可以通过幂级数来定义解析函数，当我们把解析函数作用到一个图上（在代数上与矩阵指数有关）,而幂级数可以保留图的结构，举个例子，我们可以考虑以下的图：



通过将指数函数 e^x 应用于该图，我们得到一个收敛图，如下所示



由于 sin(π) = 0，且权重为零的路径意思就是说（不存在该路径），因此在上面的图上应用指数函数的结果实际上是:



你知道我们是在做什么吗，我们其实是在说一个等式，你看出来了吗？









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