费曼积分技巧：积分符号下的微分技巧（含参变量积分）

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费曼积分技巧：积分符号下的微分技巧（含参变量积分）

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 06 月 15 日 07:30 陕西



理查德·费曼是20 世纪一位著名的诺贝尔物理学奖获得者，他以一种将复杂问题转化为图形表示和直观解释的能力而闻名，在这篇文章我们想介绍他经常使用的积分技术，被称为费曼积分技巧，不过在我学习分析学时，我们也更愿意把它称为含参变量积分，具体地说利用积分符号下的微分来求解积分。

虽然这种积分技术在大多数微积分课程中很少教授，但它仍然是一种解决棘手积分的迷人而聪明的方法，所以我们想在这篇文章中通过演示一个具体的算例来探索它。

积分 sin x / x

为了演示费曼的技巧是如何实现的，我们以 sin x / x 从 -∞ 到 ∞ 的积分为例：



这个积分也被称为狄利克雷积分，它因可以用各种特殊的积分求解技术求解而出名。一件值得注意的小事，就是 sin x / x 没有初等形式的原函数，这也是常规的技术在这里不起作用的根本原因。

为了解这个积分，我们可以先将其改写成更方便的形式，因为 sin x / x 是偶函数。（这一点利用偶函数的定义可以验证），而偶函数在对称区间上的积分是一样的，这使得我们可以只考虑从 0 到 ∞ 的积分：



接下来就是费曼技巧发挥作用的地方。我们首先定义一个全新的函数如下：



虽然目前还不清楚这将如何帮助我们，但请注意，这与之前的积分有些类似，只是我们将 exp(-tx) 项乘以被积函数。因此,我们现在要求解的是 F(0) ，因为当 t = 0 时，指数项变为 1 ，在乘法中就消失了。为此，我们首先将 F(t) 对 t 进行微分，如下所示：



我们真正想要的效果是将微分号放到积分号的里面，但真正想要做到这一点是需要一些收敛性的保证的，这里我们不去讨论，事实证明在这个例子中，这样做是没有任何问题的，我们可以交换微分和积分符号：



这正是我们乘以 exp(-tx) 的原因，因为这样做时，我们能够根据在用 t 微分 exp(-tx) 时的链式法则，用 x 项抵消 1/x 项。（这是原积分中最棘手的一项）解决了棘手的 1/x 项后，我们现在得到一个更简单的积分，现在可以使用两次分部积分来计算它，如下所示：



将右边的积分项移到左边，合并相同的项并除以 1+t^2 ，我们会发现 exp(-tx)sin x 从 0 到 ∞ 的积分是 1/(1+ t^2) 。将其代回 F '(t) 公式，我们得到以下结果：



现在我们有了 F '(t) 的相对简单表达式，我们可以对 t 求积分来求出 F(t) 。这很容易，因为 1/(1+t^2) 是 arctan t 的导数：



为了计算 F(t) 的表达式，我们只需确定积分常数 C 是多少。这可以通过考虑 F(t) 和 arctan t 的渐近行为来实现。从 F(t) 开始，如果我们回想一下我们最初是如何定义它的，你可能会注意到 exp(-tx) 乘以整个被积函数。当 t → +∞ 时，该项趋向于 0 ，这让我们得出结论：当 t → +∞ 时，F(t) 也趋近于 0 。至于 arctan t ，这是一个更加熟悉的函数，你可能已经知道当 t → + ∞ 时，它趋近于 π/2 。因此，我们可以得出结论：上面的等式，C 必须等于 π ：



回想一下原来的狄利克雷积分等价于 F(0) ，我们可以设 t = 0 并得出以下结果：



通过这样的技巧，我们解决了一个平常难以解决的积分，我认为这是一个非常好的解决方案。

回顾技术

在结束之前，让我们简单回顾一下我们刚才所做的事情，并试着理解费曼技巧是如何起作用的。这种技术的核心在于积分步骤下的微分，它将原本棘手的积分变成了更容易理解的积分。通过巧妙地引入新变量，我们可以利用积分符号下的微分来抵消麻烦的项，例如本例中的 1/x 项。

最终，我们应该得出一个不涉及积分的 F(t) 的简单表达式，这样我们就可以代入与我们想要求解的原始积分相对应的 t 值。因此，费曼技巧是一种强大的积分技巧，它让我们能够用基本函数求解被积函数没有初等原函数的积分，虽然大多数课程通常不教它，但它可能仍然是一个有用的技巧，可以记住它，以便将来解决棘手的积分。





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