e 是无理数的巧妙证明

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e 是无理数的巧妙证明

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 06 月 12 日 07:31 陕西

最近数学界最火的事莫过于 MIT 数学教授 Larry Guth 和牛津大学数学研究所教授、2022 菲尔兹奖得主 James Maynard 撰写的论文《New large value estimates for Dirichlet polynomials》，首次对数学家 Albert Ingham 在 1940 年左右关于黎曼 ζ 函数零点（黎曼假设）的经典界限做出了实质性改进。



我并不是解析数论的专家，无法欣赏到这些天才数学家工作细节的美观，尽管另一位天才数学家陶哲轩总结了他们的工作，原谅我知识的匮乏，依然不是很懂：



但有一点我是明白的，这是真正世界级有创造力的工作，他们讨论了在处理狄利克雷多项式问题时所使用的工具，并指出这些工具无法区分近似反例和原始问题的设定。对比了两种不同的频率设置，探讨了每个设置的特点。通过分析低能量和高能量两种情况，在低能量的情况是我们关注的重点，因为这跟我们今天的主题有点关系（大笑），低能量情况他们采用的工具是傅里叶分析，好吧我终于扯到傅里叶了。

今天的主题 e 是无理数的巧妙证明，最早也是由约瑟夫傅里叶提出的。欧拉常数 e 是数学中的一个重要数字，它会出现在很多场合。举个例子，这里有两个重要的 e 的性质。首先，以下简单的一阶微分方程适用于从人口增长到放射性衰变的许多情况：



该方程的通解是指数函数 e 的 x 次方的常数倍：



其次，e 涉及欧拉公式，该公式是复分析（复数研究）的基石：



如果我们用 π 值代替 θ ，就得到欧拉恒等式：



很多人把这个恒等式称为最美的数学等式，因为这个公式将 e 置于数学的核心位置。它将数学中可以说是最重要的三个常数 π 、e 和 i 关联到一个公式中。而今天这期推送的主要内容，就是证明 e 是一个无理数，就像我们说过的那样，这个证明最早来源于傅里叶。

傅里叶证明

约瑟夫·傅立叶的证明是反证法。我们首先假设 e 是有理数的，这意味着，对于某些正整数 a 和 b ，我们有：



我们将证明这会导致矛盾，因此不可能为真。反证法的一个经典事例就是 2 的平方根为无理数，不过在这一初始步骤之后，这两个证明就大不相同了。
傅里叶的证明还依赖于指数函数的麦克劳林展开式，其表达式如下：



利用上面的表达式，令 x=1 ，我们可以给出 e 的级数表达：



在 e 的级数表达式中出现了阶乘，因此在开始的主体的证明之前，看看阶乘的几个性质，或许会有用。

阶乘的性质

n 的阶乘当然是 n 与每个小于 n 的正整数的乘积：



有一个特殊规则即 0! = 1 ，任何阶乘都能被任何较小的阶乘整除。例如，7! 能被 4! 整除，因为最小的四个项相同，所以它们正好相消：



因此一般而言，如果 n ≥ m ，我们可以像这样写出阶乘的商（如果你对组合数学有一点了解，可以赋予这个数字一点排列组合的含义，不过这里这点不是很重要，因为本身从定义出发，我们也能清楚地看到这个性质）



这始终是一个整数，因为乘积中的每个项都是整数。我们稍后会用到这个事实。如果 n ＜ m ，我们得到一个有理分数（它总是一除以整数）：



继续证明

到目前为止，我们已经证明，如果 e 是有理数，则以下结论必定为真（其中 a 和 b 是正整数）：



我们当然是想证明当 a 和 b 为正整数时，这个等式不成立，这样就证明 e 是无理数。将两边乘以 b! 会很有用：



看看右边，每个项都有一个分母，分母是阶乘，并且阶乘随着每个连续项而变大。我们可以将这些项分成两组——分母小于或等于 b! 的项和分母大于 b! 的项。我们所做的只是对项进行分组，我们没有改变任何东西（这里我们对无穷级数加括号，不改变任何东西，悄悄地用到了绝对收敛的性质，这里是可以保证的，所以没有任何问题）



我们将其写成：



我们可以逐一看一下这里的 P，Q，R 分别代表什么术语。P 就是上面公式的左边，可以简化如下：



这里我们利用了 b! 等于 b(b-1)! 的事实，然后从上到下抵消了 b 。由于 a 是整数，并且任何阶乘都是整数，因此 P 是整数。正如我们将看到的，这就是我们需要了解的有关 P 的全部内容。

现在轮到 Q 了：



右边的每个项都具有 n!/m! 形式，其中 n ≥ m 。我们之前看到，这总是为整数。这意味着 Q 是一组有限整数的和，因此 Q 也必须是整数。

因此，我们证明了，如果 a 和 b 是整数，则 P 和 Q 也必须是整数。并且，如果 P 等于 Q 加 R ，则 R 也必须是整数。那么接下来如果我们再说明 R 不是整数，那么就会出现矛盾。则我们一开始的假设 e 是有理数是有问题的。

完成傅立叶证明

从上面我们可以得出：



这是一个无穷级数，那么我们如何证明它不是整数呢？目前没有明显的解决方法，但幸运的是，傅立叶找到了一种巧妙的方法来证明无论结果是什么，它都不能是整数。首先，由于 b 是正整数，因此大于 0 ，我们可以肯定地说 R ＞ 0 。我们能找到上限吗？让我们展开前几项，使用我们之前发现的阶乘规则，即当 n ＜ m 时，n!/m! 的阶乘规则。第一项是：



第二项是：



傅立叶现在使用了一种巧妙的简化方法。由于 (b + 2) 大于 (b + 1) ，如果我们在分母中代入 (b + 1) ，它将使分数变大。因此我们可以说：



这又给了我们以下结果：



第三项是：



我们可以做同样的事情，用 (b + 1) 替换 (b + 2) 和 (b + 3) ，并应用相同的逻辑：



如果我们对每个项都做同样的事情，我们可以说：



这里，R 严格小于总和，因为上面的公式中除第一个项之外的每个项都被高估了。由于 b 出现在每个分母中，因此 b 越小，和就越大。我们知道 b 是一个正整数，因此如果 b = 1 ，则右边的式子可以取得最大值：



这是一个众所周知的几何级数，其和为 1 。R 必须小于这个最大值。由于我们已经知道 R 大于 0，因此我们有：



但这是不可能的，没有大于零但小于一的整数。所以 R 不能是整数。正如我们已经证明的那样，这意味着 e 不能是有理数。



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