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本帖最后由 elim 于 2024-7-11 10:10 编辑
根据周民强【实变函数论】第二版第一章 第9-10页的定义定理有
\(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k=\{x\mid \text{对无穷多}n,\,x\in A_n\}\)
\(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k=\{x\mid \text{至多对有限个}n,\,x\not\in A_n\}\)
\(\forall \{A_n\}\,\big(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n\big)\)
取 \(A_n=\{n+1,n+2,\ldots\}\;(n\in\mathbb{N})\)
因为对每个\(m\in\mathbb{N},\;m\not\in A_n\,(n\ge m)\), 即属于无穷多个\(A_n\)
的自然数不存在,即 \(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} \{n+1,n+2,\ldots\}=\varnothing.\)
所以 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}=\varnothing.\)
周民强的例(5) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}[n,\infty) =\varnothing\) 也是这个的逻辑。 |
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