复平面上的三角函数（四）守秘与背叛——三次方程解法之争

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复平面上的三角函数（四）守秘与背叛——三次方程解法之争

原创 欧阳克 欧阳克的数学课 2024-05-10 05:32 北京

在上一篇 《复平面上的三角函数（三）数系的扩张 》 里，我们从自然数系开始扩充数的概念，一直扩展到了实数域，本篇开始我们将扩展到复数域。

我们知道，一元二次方程 ax^2 + bx + c =0 ，有两个根，即

  ，

当 b^2 – 4ac ＜ 0 时，开方得到的是虚数，则此时方程没有实数根，有两个虚数根。

但无论如何，在复数域内，一元二次方程永远有两个根。

你可能会以为，虚数诞生自这样求解二次方程的过程。

其实不然。

公元前 2000 年左右，古巴比伦的数学家就能解简单的一元二次方程了，古埃及的纸草文书中也有所提及。

公元前 480 年，中国数学家使用配方法求得了二次方程的正根，还在方程的研究中应用了内插法。

约公元 246 至 330 年的希腊数学家丢番图能解一些特定类型的二次方程。

公元 628 年，印度数学家婆罗摩笈多出版了《婆罗摩修正体系》，给出了一元二次方程 x^2 + px + q = 0 的一个求根公式。

公元 820 年，阿拉伯数学家花拉子密出版了《代数学》，书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法。他把方程的未知数叫做“根”，承认方程有两个根，并有无理根存在。

但是，对于非实数解，即虚数根，所有这些古代数学家们，都毫不犹豫地，没有任何争议地，抛弃了。他们根本不会去考虑虚根的问题！

这也可以理解，比如对于方程 x^2 + 2x + 2 = 0 ，求解就相当于在实平面（即实数x轴和实数y轴决定的平面）上找二次曲线 y = x^2 + 2x + 2 和直线 y = 0 （即x轴）的交点 ，如下图



可见它们根本没有交点，那就没有实数解。没有就没有好了，不需要费力从“没有”中找出什么新型的，非实数的解，那根本就是多余而又无意义的东西。

以当时的科技水平和实际生产操作，将这一类方程判定为无解没有任何不妥之处。

所以对二次方程求解的研究中，并没有产生任何虚数的萌芽。对于那些需要对负数开根号的情况，都被无视了。

（与之类似的情况是，丢番图在解 x^2 + (2x - 4)^2 = 16 时，得到的解是  x = 16/5 ，另一个解 x = 0 则被直接舍弃了，因为他没有表示零的符号。甚至，他会将所有负数解丢弃，因为他认为将负数视为数学对象是“荒谬的”）。

上千年过去了，到了十六世纪，情况终于发生了变化。对一般性三次方程解的研究导致了虚数（复数）的产生。

这必须要提到两个意大利人，塔尔塔利亚（或译作塔塔里亚，1499 年或 1500 年至 1557 年 12 月 13 日）和卡尔达诺（或译作卡丹，或卡当，1501年 9 月 24 日至 1576 年 9 月 21 日）。我们认为是这两位数学家完成了三次方程的一般性解法（但是不完备），卡尔达诺的方法来自塔尔塔利亚。他们之间的恩怨以及和一元三次方程求根公式之间的关系，有点类似雅各布·伯努利和洛必达二人之于洛必达法则（那是另一个故事，今后我们可能会讲到），但孰对孰错，看完本篇读者想必自有判断。

塔尔塔利亚原名尼科洛·方塔纳，生于教皇国布雷西亚（今意大利布雷西亚）。他的父亲米科利·方塔纳是一名邮差，绰号“马夫”，因为他有一匹马（对于平民来说这绝对是一件值得起绰号的事情），总是骑着马给附近的郊区居民以及城里的市民送信。虽然家境一般，但他仍尽力让儿子接受最好的教育。塔尔塔利亚从四岁开始上学，五岁就会阅读。但他六岁时父亲米科利·方塔纳在送信路上被谋杀，这个家庭失去了经济支柱，立刻陷入贫苦之中，但他母亲仍然坚持缴纳高昂的学费供他学习。1512 年塔尔塔利亚 12 岁（或 13 岁）时，法国军队占领布雷西亚，进行了掠劫。塔尔塔利亚后来自述，当时他和母亲、兄弟躲进了一个教堂，但法国士兵仍然闯了进来，大肆砍杀。塔尔塔利亚头上被砍了五刀，伤口触目惊心，其中一刀从嘴唇贯穿到了颌骨。但塔尔塔利亚奇迹般地活了下来，而且几个月就康复了，只是留下了巨大的可怕疤痕，几乎毁容，后来他不得不一直蓄须以遮盖最大的那条伤疤。因为那个伤口划穿了牙床，所以伤愈后留下了口吃的后遗症，他的同学和同龄人就给他取了个绰号“塔尔塔利亚”(意大利语 Tartaglia ，意为口吃者)。据塔尔塔利亚自叙，从这次灾祸之后，他就不再上学，也没有请家庭教师，全凭自学，不但学习了数学，还学会了多门语言。

但他本人倒是没有忌讳“塔尔塔利亚”这个绰号，后来在发表文章时，也常常把“塔尔塔利亚”签在本名“尼科洛”旁边，所以被称为尼科洛·塔尔塔利亚。

十六世纪初正是数学在生产生活中大展拳脚的时候，无论是航海时测定经纬度和方位，还是战争中扩大炮弹射程以及计算落点，都离不开数学。这其中威尼斯更是一个广阔的舞台，商业繁荣，交通发达，四通八达的水道能将货物送往四面八方。因此，1534 年塔尔塔利亚移居威尼斯教授数学。为了挣钱，他一边担任兵工厂里木匠们的顾问，一边四处推销自己发明的炮弹（他有一本关于火炮射击弹道计算的著作），同时还在圣若望和保禄教堂作教习，公开传授欧几里得的《几何原本》（他是第一个将《几何原本》译成意大利文的人）。

这里我们可能要小小地非议一下这位数学家，可能是跟童年时的经历有关，据说塔尔塔利亚年轻的时候为人略显张扬，喜欢炫耀自己（我们从他留下的文字中可以看出一点点迹象），在这之前他曾经短暂地先后在威尼斯、家乡布雷西亚和另一个城市维罗纳教数学，但因为性格原因都不算成功，最后又回到威尼斯。所以他在威尼斯教《几何原本》时，可能部分因为他的风格，部分因为同行之间的争斗，经常有人以数学难题向他发起挑战，类似武林中的踢馆。前面说了，为了挣钱，塔尔塔利亚相当于同时打三份工，教数学可不是免费的，踢馆这种事直接关系到他的收入，因此他对这些挑战都会给予强力直接的回击。好在以他的数学才能，没有什么难题真正难倒了他。

1535 年，一个前所未有的竞争者出现了。有一个名叫菲奥雷的威尼斯本地人因为觊觎塔尔塔利亚教习的职位，公开向他发起了挑战，要求他于 1535 年 2 月 22 日进行一场二人的公开竞赛，挑战内容是双方各自向对方提出 30 个问题，于三十天内答出较多者获胜。

一开始塔尔塔利亚并不在意与菲奥雷的赌约，以为他只是跟以前那些踢馆者一样的普通货色，但是很快他就听说菲奥雷从某个已故的数学教授处掌握了一种求解“未知量加上一个立方等于一个数”的秘密，这让塔尔塔利亚紧张起来，天天把自己关在书房里，开始认真准备这场数学决斗。

所谓“未知量加上一个立方等于一个数”，正是某一种一元三次方程。

在这个时间点，世界上还没有一种通用的三次方程的解法，之前的进展是：

中国唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《缉古算经》中建立了 25 个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048 年至 1123 年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了某些种类三次方程的解法（他将三次方程分为 14 种，能用几何方法解决其中的四种）。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

意大利数学家斐波那契在他 1225 年所著的《花之书》里记载了他曾经在神罗皇帝腓特烈二世面前解答了别人的挑战，断言方程 x^3 + 2x^2 + 10x = 20 的解即不是有理数也不是有理数和平方根的任何组合，并得到了一个用六十进制表示的非常精确的近似解（只在小数点后 11 位开始错了），但并未给出解法。

中国南宋的数学家秦九韶在他 1247 年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

总之，在此时，一般的一元三次方程并没有通用的解法（没有求根公式，连求根公式这种东西存不存在都不知道），并且欧洲数学家对中国数学家在这方面的成就一无所知。只有一些特定形式的三次方程得到了解决。

对此，1494 年意大利数学家卢卡·帕西奥利在他的《算术、比例和几何总论》中列举了当时解三次方程的失败尝试，认为解三次方程或许是不可能的，他在书里写道“在当今的数学里，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的”。他列出了两类没有解法的三次方程形式：

bx + ax^3 = c  ①

bx^2 + ax^3 = c  ②

但不知为何他没有列出第三种和第四种形式

bx + c = ax^3  ③

bx = ax^3 + c  ④

在我们看来 ① 和 ③ ④ 当然是一样的，但在帕西奥利的年代负数才刚刚被一些欧洲数学家接受，并不是普遍承认的事实（前面提到能用几何方法解特定三次方程的海亚姆就不接受负数），这一点是远远落后中国数学家的。

1530 年塔尔塔利亚在家乡布雷西亚时，一个当地的数学教师德科伊曾向塔尔塔利亚提出过一些三次方程的问题。塔尔塔利亚经过研究之后，宣称自己已经掌握了第二种形式的三次方程的一般解法，但他只给出了一些具体方程的正实数解，却不肯公开解法（毕竟是吃饭的家伙）。同时他也承认对于第一种形式他还没有丝毫头绪。

而传言菲奥雷掌握的“未知量加上一个立方等于一个数”，正是第一种形式，那要是传言是真的，那不完犊子了，菲奥雷肯定连出三十道方程 ① 啊，塔尔塔利亚知道这样的话自己必败，而且离正式交题的日期很紧，他当时的心情就跟世界杯预选赛的男足一样，留给他的时间已经不多了。

塔尔塔利亚不知道的是，菲奥雷可不是乱来啊，他是有备而来。他听说了塔尔塔利亚会解 ② 却不会解 ①（此时能解 ② 已经是绝无仅有了，① 明面上无人能解），就特意设计了这样一个赌约。因为这菲奥雷自己却是个有来历的。

1502 年，刚才所说的，总结了三次方程没有解法的，帕西奥利，在博洛尼亚大学（这是意大利最古老的大学）任教时，曾与同事希皮奥内·德尔·费罗讨论过这方面的问题。没人料到的是，若干年后（具体什么时候现已无从知晓），费罗竟然解出了形式 ① ！但终其一生，费罗都没有发表自己的成就，甚至没有告诉别人（费罗身为大学教授，并没有生活压力去展示能力以获得更高声望和收入，从这一点上来说，原谅一生衣食无忧的费马吧，他们就是喜欢把成果藏起来，另，法国人费马生于 1601 年，晚生一百年）。直到 1526 年费罗临终前，才把自己的女婿德拉纳韦和学生，叫到床前，向他们传授了解法。

费罗的学生，正是菲奥雷。

德拉纳韦谨遵岳父的教导，同样没有将其发表，几乎守口如瓶（“几乎”划重点，后来他背刺了塔尔塔利亚）。但菲奥雷却是个有野心的，他想将这一解法当作秘密武器，来博取更大的前程。他选取的第一个垫脚石就是塔尔塔利亚。

甚至塔尔塔利亚听到的流言也是菲奥雷自己放出去的，为的就是在紧迫的时间里给对手增加压力，迫使对手因害怕而慌乱甚至放弃。因为菲奥雷不相信有人能临阵突破，在这么短的时间里解决千年难题，毕竟他老师那样的人有一个就够了。

菲奥雷万万没想到的是，全力以赴的，来自布雷西亚乡下的，有着可怕疤面的，“结巴”，塔尔塔利亚，经过连续的废寝忘食的钻研，竟然在比赛还剩十天的时候，即 1535 年 2 月 12 日，找到了 ① 的解法！第二天也就是 2 月 13 日凌晨，又解决了 ③ ，随后又解决了 ④ 。

到了 2 月 22 日当天，不出所料，菲奥雷出的题目全是形式 ① 的三次方程求解，塔尔塔利亚在两个小时内全部解出。至于塔尔塔利亚出的题，我们只知道前四道，都是 ② 和 ③ 的混合，然而菲奥雷一题都解不出。

塔尔塔利亚后来在书里称，菲奥雷“没有什么才能，只是握有好的解法”。确实，生搬硬套老师传授的第一类方程解法就是菲奥雷的全部能力。实际上，对于一般形式的一元三次方程 x^3 + ax^2 + bx + c = 0 ，都可以通过简单的变换消去二次项，即

，

也就是说，原方程可化为

，

即

，

其中

，

注意这里的 p 是实数常数系数，不代表质数。

则掌握了 ① 的解法就等于掌握了所有一元三次方程的解法。奈何菲奥雷交了白卷。

总之，塔尔塔利亚大获全胜，名声大噪，并且很有风度地谢绝了奖品（据说按照约定败者本应连续请三十次晚宴）。虽然放弃了赢得的赌注，但重要的是，他保住了教职，还获得了巨大的名望。而菲奥雷则灰溜溜地败走，从此销声匿迹。

故事如果到这里结束，就是一个 Happy ending ，可惜世上没有如果。

1538 年底或 1539 年伊始，布雷西亚的德科伊（即最早和塔尔塔利亚交流三次方程的人，此时已定居米兰）拜访了米兰城的一位大名人，吉罗拉莫·卡尔达诺。

卡尔达诺，意大利文艺复兴时期百科全书式的学者， 数学家、物理学家、工程师、占星家、哲学家和赌徒，古典概率论创始人。他一生写了 200 多部著作，内容涵盖医药、数学、物理、哲学、宗教和音乐。他是一个穿梭于科学与迷信两端，于数学、物理学、医学、宗教、神秘学、占卜、赌场和大贵族之间游刃有余的，传奇人物。

在有办法妥善地解决版权问题之前，出书并不是一件很赚钱的事，哪怕是一本大热的书，因为盗版会像闻到血腥味的鲨鱼一样蜂拥而至，将原著打得找不到北（这可能也是费罗和塔尔塔利亚等人不愿意将自己的数学技巧写成著作的原因之一，有了这样的书之后谁还来听课呢）。写畅销书的最大好处是能够更好地宣传自己，在贵族之间提升自己的名气，只有那些有能力将名声变现的人才会热衷于写书（比如斐波那契）。

卡尔达诺正是这样能将名气变现的人。

虽然卡尔达诺一生中曾任教于帕维亚大学、博洛尼亚大学，但当时大学教授的收入还不足以支撑上流社会的生活（但比塔尔塔利亚拼命守护的教会教习职位当然是要强多了）。

他的主要收入来源是行医。他写的第一本书就是医书。他是欧洲排名第二的名医（排第一的是安德烈·维萨里，近代人体解剖学的创始人，为了研究人体解剖结构而去盗尸的医学先驱）。卡尔达诺声名鼎盛之时，整个欧洲的上流社会，从富商到贵族，从牧师到主教，都排着队求他看病。他的自传里记载一次给苏格兰的大主教治疗哮喘，收费是 200 金克郎，这可是一笔巨款，当时（文艺复兴时期）意大利的顶尖画家一年也就挣这么多钱（按一年卖出一副佳作估算），大概相当于普通工人三年半的工钱。

其次收入来自于占卜。卡尔达诺精通占星术，还开创了一种相面术。就在这次治疗完毕，从苏格兰回家的路上，经过伦敦时，他作为医生去探望一贯体弱多病的英格兰的少年国王爱德华六世（正是马克吐温的小说《王子与贫儿》的主角），并顺手给他算命，预言他只要躲过 23 岁、34 岁和 55 岁的三次重病就可以长寿。然而不到一年爱德华国王就夭折了，年仅 16 岁。

此外还有赌博的收入。为了从赌桌上挣钱，他深入研究了概率论（笛卡尔和费马也这么干了！），写有古典概率的专著。同时他也是国际象棋的高手（在当时国际象棋基本和纸牌、骰子一样是用来博彩头的活动）。

卡尔达诺同时还钻研所谓“仙术”（或者巫术），为此他一直有意维持自己神秘和怪异的人设。他自己的出身本就有着话题性，是达芬奇的一位律师朋友的私生子。而在自传里，他又有意给自己增添神秘色彩，比如他说自己出生时是个死婴，被丢在一缸热红酒里，从而获得重生；以及宣传自己的传奇经历如通过下棋和赌博暴富，又挥霍无度变卖家产，等等。

他还同时是一个出色的工程师，曾为查理五世发明了一系列马车的部件。至今欧洲各种主要语言里的“万向轴”这个词都来源于他的名字。

可见，他的主要营生都和他个人的声望息息相关，名气越大，找他的人越多，挣钱就越多。如果他的声望受损乃至影响力消失，或者失去了贵族社交圈的门票，那他的事业也就基本完蛋了。

德科伊上门时，卡尔达诺正在米兰写自己的第二本数学专著《算术、几何和代数的实践》。德科伊的到访引起了卡尔达诺极大的兴趣。此时距塔尔塔利亚获胜已过去四五年，消息早已传遍全意大利，但详细的情况外人是无从得知的。卡尔达诺聘请德科伊为自己的部分学生讲授数学（因为他自己实在是太忙了），这样两人就有了足够多的交流机会。德科伊将自己所了解的关于塔尔塔利亚的情况全盘托出，包括他们在 1530 年的交流，当然最主要的还是那一场数学决斗的全部细节。但是，德科伊当然不可能知道塔尔塔利亚秘而不宣的三次方程具体解法。但卡尔达诺非常想知道，以便放进自己所写的新书里，向大众公布。

卡尔达诺于是通过一位书商作为介绍人，和塔尔塔利亚取得了联系。他写信向塔尔塔利亚讨教三次方程的解法，表示要将它加到自己的新书中，并会注明是塔尔塔利亚所发现。这请求理所当然地被拒绝了，塔尔塔利亚答复说：“如果我想公布，我会在自己的著作里公布”。但卡尔达诺是何等的社交达人，从 1539 年 1 月到 3 月的三个月里，两个人一直维持着书信往来，卡尔达诺充分展示了自己的沟通技巧，时而傲慢地讽刺，暗示塔尔塔利亚是个骗子，根本没有三次方程的解法；时而抛出诱饵，表示自己可以助他在整个欧洲扬名，绝不会染指他的贡献；有时又指责塔尔塔利亚态度高傲，“你以为你在和谁说话，和你的学生吗？”，等等，犹如一个真正的 pua 大师。塔尔塔利亚则答复说：“我以发明新事物为乐，而不像某些人，剽窃这位或那位作者的东西，加进自己的书里”。

最后，卡尔达诺甚至假称自己早就掌握了三次方程的解法，只是为了和塔尔塔利亚交流解法的优劣异同，但塔尔塔利亚看穿了他的诡计，断然表示如果卡尔达诺能够写出解法，他愿意以一赔十。

卡尔达诺无计可施，于是放出了大招。他告诉塔尔塔利亚，如果到米兰来，自己可以为他引荐神罗皇帝查理五世的将军，米兰公国的西班牙总督，阿瓦洛斯侯爵。卡尔达诺声称这位军队首领对塔尔塔利亚的军事技术非常感兴趣，这一下击中了塔尔塔利亚的软肋，他于当年 3 月 23 日来到米兰，并住进了卡尔达诺家中。如同所有骗局的受害人一样，塔尔塔利亚连侯爵的影子都没有见到。但是，在卡尔达诺的热情招待下，他如同自投罗网的猎物，被 pua 大师卡尔达诺拿捏得死死的。两人的友情迅速升温，仿佛变成了老友。卡尔达诺说，自己作为一个道德高尚的人，可以向上帝发誓，决不泄漏塔尔塔利亚的发现，并且主动提出，塔尔塔利亚可以将解法写成暗语，以防止在自己死后有人看懂。于是，仅仅过了两天，即 3 月 25 日，在卡尔达诺发誓绝不外传的前提下，塔尔塔利亚将三次方程的解法以暗语般的 25 行诗歌形式告诉了卡尔达诺。随后塔尔塔利亚离开米兰。

据塔尔塔利亚自述，刚出卡尔达诺的家门，他就后悔了，于是对卡尔达诺在随后的信件中要求他进一步解释诗歌的要求予以了拒绝。

但实际上，卡尔达诺悟透了那二十五行诗，得到了三次方程的第一个解即实数根的求根公式，但不会运用，于是写信给塔尔塔利亚，请求他看在“您对我的情谊以及我们之间的友谊至死不渝”的份上，告诉自己 x^3 + 3x = 10 的解法。仅过了几天，塔尔塔利亚就把答案告诉了他，还在信件结尾警告他要遵守誓言。

这之后卡尔达诺频繁的请教让塔尔塔利亚心生怀疑，才不再解答问题。

好在 1939 年 5 月卡尔达诺的新书出版了，里面并没有包含三次方程的解法，这让塔尔塔利亚暂时松了一口气。

8 月份卡尔达诺在研究解法时发现了复数根的存在，他写信询问塔尔塔利亚，塔尔塔利亚发觉卡尔达诺已经领会了解法，就在回信中称卡尔达诺的想法都是错的。

大半年的时间里，两人的通信模式都是，塔尔塔利亚对卡尔达诺宣泄着怀疑和愤怒，卡尔达诺则不断对塔尔塔利亚进行安抚和奉承，直到——

1540 年，在从塔尔塔利亚那儿骗到的“未知量加上一个立方等于一个数”的秘密的基础上，卡尔达诺得到了一元三次方程的一般性解法。同年，他的助手兼学生，卢多维科·费拉里，更进一步，在三次方程解法的基础上解出了四次方程。但限于卡尔达诺的誓言，两者均不能发表。

（这里还有一个小插曲，在 1540 年一月的信件中，卡尔达诺说德科伊试图向他骗取塔尔塔利亚的解法，塔尔塔利亚则回信说：“他比我想象的更卑鄙”。）

卡尔达诺在随后的几年里绞尽脑汁，寻求在不损害自己的信誉的情况下发表解法的可能性。在偶然得知当年挑战失败者传言中的师承是指费罗之后，他终于想到了一个（自认为）可以绕过誓言约束的办法。

1543 年卡尔达诺和费拉里来到博洛尼亚，找到了费罗的女婿德拉纳韦。德拉纳韦继承了费罗的大学教职，同时也保管着费罗的所有论文（未发表）和手稿。此前一直严守秘密的德拉纳韦，这次却对卡尔达诺师徒敞开了大门，将所有手稿给他们自由翻阅。

卡尔达诺从费罗留下的手稿中证实了费罗是第一个解出形式  ① 的人（但这些文件再没有其他人见过，也只能说是一面之词）。他认为这使得他对塔尔塔利亚的誓言失去了存在依据，于是将三次方程和四次方程的解法在 1545 年出版的《大术》中公开发表，并指出费罗是第一个解出三次方程的人，而塔尔塔利亚则是独立地，“重新”发现了解法。三次方程的求根公式也因此被称为卡尔达诺公式或卡丹公式。（由于费罗的论文都已失传，最终的三次方程求根公式有多少来自费罗有多少来自塔尔塔利亚，或者说两人的解法完全一样，已无人知晓。）

卡尔达诺的行为让塔尔塔利亚怒不可遏。他当时正忙于翻译、注释阿基米德和欧几里得的著作。在完成手上的工作之后，1546 年塔尔塔利亚出版了一本名为《各种问题和发明》的书，其中以对话和书信等记实方式陈述了他与德科伊、菲奥雷、卡尔达诺等人的交往经历和三次方程解法的发现过程，对卡尔达诺的毁诺行为进行了攻击。卡尔达诺本人一直对塔尔塔利亚的攻击保持缄默，而费拉里则一直积极地回击塔尔塔利亚，两人通过信件争论了一年多。费拉里甚至否认老师卡尔达诺发过守秘誓言，还说塔尔塔利亚是为感谢卡尔达诺的款待而自愿分享秘密的（我只能说，这只有在卡尔达诺真的掌握了“惑人心智”之类的法术的情况下才可能发生）。

1548 年塔尔塔利亚的家乡布雷西亚提供给他一个讲师的职位（比他在威尼斯的教习职位要高），但为了证明自己够资格，他决定接受费拉里的公开进行比赛的要求（实际上费拉里对这场比斗进行了大肆宣传，甚至向全意大利的数学爱好者们发公开信，以迫使塔尔塔利亚接受挑战）。1548 年 8 月 10 日两人的竞赛在米兰大教堂附近举行，客场作战的塔尔塔利亚称听众和裁判不公因而退出比赛，第二天就返回了布雷西亚。费拉里在塔尔塔利亚缺席的情况下获胜，但也有文献认为塔尔塔利亚是在第一天关于几何问题的辩论中就一败涂地之后才离开，还有文献说其实塔尔塔利亚才是占据上风的一方……总之这场比斗是一笔糊涂账，但从结果来看很可能是对塔尔塔利亚不利的。塔尔塔利亚回到家乡后教了一年数学，就被告知他的职位被撤销了，他只得再回威尼斯教学。

塔尔塔利亚对卡尔达诺的怨恨终生未曾消解，直到 1557 年带着痛苦和愤怒郁郁而终，比卡尔达诺少活了 18 年。他一生都没有公开发表过任何关于三次方程的解法的文章。实际上他一生的夙愿就是写一部伟大的数学著作，自然要包括他最杰出的数学成果——解三次方程，但在他准备好之前，卡尔达诺直接剥夺了他的梦想。而第一个解出一般性三次方程（费罗），三次方程的求根公式（卡尔达诺），第一个意识到复数（虚数）的存在（卡尔达诺），第一个解出一般性四次方程（费拉里），等等，这些伟大的数学发现，没有一个能署上他的名字 ... ...

在塔尔塔利亚死后，卡尔达诺的家庭生活变得非常不幸。他的经济出现了很大问题。他最疼爱的长子因为杀死不忠的妻子于 1560 年被判死刑。他的小儿子经常偷窃他的财物去赌博，被他亲自告发入狱。他自己因为用占星术推算耶稣的出生星位，以及赞美罗马暴君尼禄，被指控为大逆不道，于 1570 年入狱，并失去大学教职。更为可悲的是，那个赌鬼小儿子参与了指控。（有些不靠谱的公众号文章说是塔尔塔利亚卧薪尝胆隐忍多年后成功报复，陷害了他的大儿子，又唆使他的小儿子告发他入狱，等等，这简直是胡说八道，塔尔塔利亚都死了好多年了。）

出狱后他移居罗马，获得了教皇格里高利十三世的年金资助，完成了自己的自传。

而卡尔达诺的学生费拉里，刚刚坐上博洛尼亚大学数学教授的位置，就被贪财的姐姐于 1565 年用砒霜毒死，年仅43岁。

卡尔达诺是三位数学家中最长寿的一位。在面对死亡时，卡尔达诺依然维持住了自己的神秘人设。晚年他通过占星术推算出自己的忌辰（1576 年 9 月 21 日），并真的在那一天死去。但一般认为他其实是在那一天服毒自尽以确保自己占星术的准确率。

欧阳克