欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则

yangls728

欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则
杨六省
yangls728@163.com
下面关于√2是无理数的证明转引自《古今数学思想》中译本第1册第37-38页。
设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α:β，并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据Pythagoras定理得α2=2β2。由于α2为偶数，α必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比α:β是既约的，因此β必然是奇数。α既是偶数，故可设α=2γ。于是α2=4γ2=2β2。因此β2=2γ2，这样β2是个偶数。于是β也是偶数，但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。
笔者评析：上述证明与常见的证明方法的共同点是：都把√2是最简分数作为√2不是有理数的反论题；都认可从p2=2q2（q 为整数）可以推出p是偶数。对上述证明，笔者感到困惑的是，不知道我们究竟是要否定什么？如果是想证明α和β都是整数是虚假的，那么，在反论题中就没有必要（注：准确的说法是不应该）写入α:β是既约的这样的假设条件，也没有必要（注：同上）在推理中应用它。如果是想证明α:β是既约的是虚假的，那么，推出α和β都是偶数（姑且不论这种推理是否有效）就可以达到目的，何须再推出β既是奇数又是偶数（姑且不论这种推理是否有效）这样的结论呢？接下来的情况更让笔者感到有些意外，因为它似乎不该发生。论证的前半部分依据α:β是既约的，由α是偶数（姑且不论这种推理是否有效）推出了β必然是奇数。但是，后面呢？又放弃了对α:β是既约的这一假设条件的应用。因为如果继续应用这一假设条件的话，那么，基于α是偶数，就不会推出β也是偶数的结论。结论是，在同一推理过程中，对于α:β是既约的这一假设条件，既认可它，又不认可它，这是违反一致性原则的，这样的推理是无效的。