(a^2+3)/p=c两整数解之和等于p

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{m^c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(2^k-1＝p\)
前提条件不限制\(a\)值，这个命题是否正确？

太阳

yangchuanju先生观看31楼命题，可能找到一个反例？

yangchuanju

太阳 发表于 2024-4-18 12:47
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{m^c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\( ...

别变着花样“求证”这是素数，那是素数了！       
能找到几个符合(a^2+3)/m^c=2^k-1的特例就不错了！       
可以找到的特例都是m=2，c=2的，       
还就是那4个数：       
(a^2+3)/4=2^k-1       
a^2+3=2^2*(2^k-1)       
序号        a        k        特例
1        3        2        12 = 2^2 · 3
2        5        3        28 = 2^2 · 7
3        11        5        124 = 2^2 · 31
4        181        11        32764 = 2^2 · 8191

yangchuanju

已知不定方程(a^2+3)/67=c的最小整数解是a=8，那么它在67以内的最大整数解是a=59；
已知不定方程(a^2+3)/103=c的最小整数解是a=10，那么它在103以内的最大整数解是a=93；
已知不定方程(a^2+3)/199=c的最小整数解是a=14，那么它在199以内的最大整数解是a=185；
……
已知不定方程(a^2+3)/3912487=c的最小整数解是a=1978，那么它在3912487以内的最大整数解是a=3910509；
……

太阳

(a^2+3)/c=2^37-1，a取无限大的值，有可能是无限多整数解，c的值有没有可能是素数？
(a^2+3)/c=2^67-1，a取无限大的值，有可能是无限多整数解，c的值有没有可能是素数？

太阳

(88^2+3)/61=2^7-1

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{m^c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(2^k-1＝p\)
考虑\(2^k-1＞m\)，此命题是否正确吗？

太阳

(349402^2+3)/931417＝2^17-1

太阳

(508256^2+3)/8333037469=2^5-1

太阳

(73538^2+3)/660217=2^13-1