(a^2+3)/(2^k-1)=c的整数解个数

yangchuanju · 发表于 2024-4-14 21:32

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-15 06:08 编辑

(a^2+3)/(2^k-1)=c的整数解个数

若指数k是奇素数，且2^k-1分解式中只含有模6余1的素因子，例k=3,5,7,13,17,19,31,37,61,67……等能够整除，有整数解；
分解式中不只含有模6余1或只含有模6余5的素因子，例k=11,23,29,41,43,47,53,59……等不能整除，没有整数解；

若指数k是奇合数，且2^k-1分解式中只含有模6余1的素因子，例k=9,15……等能够整除，有整数解；
分解式中不只含有模6余1或只含有模6余5的素因子，例k=33,35……等不能整除，没有整数解；

若指数k是2以外的偶数，其2^k-1分解式中不只含有模6余1的素因子及含2个或多个素因子3的，不能够整除，没有整数解；
2^4-1=15=3*5
2^6-1=63=3*3*7
2^8-1=255=3*5*17
2^10-1=1023=3*11*31
2^12-1=4095=3*3*5*7*15
2^16-1=65535=3*5*17*257
2^18-1=262143=3*3*3*7*19*73
其中的素因子不全是模6余1的，没有整数解。

若其2^k-1分解式中只含有模6余1的素因子及1个素因子3的，可以整除，有整数解，如
2^14-1=16383=3*43*127
在16383以内有4个整数解，其中
能被127整除的129*2=258个；能被129整除的127*2=254个；能被43整除的127*6=752个；
在129以内能被43整除的2*3=6个，能被3整除的43个，能被129整除的仅2个：a=30和99，30+99=129。

yangchuanju · 发表于 2024-4-14 21:33

若指数k是奇素数，且2^k-1分解式中只含有模6余1的素因子，例k=3,5,7,13,17,19,31,37,61,67……等能够整除，有整数解；
在2^k-1以内有2个整数解，编号为1#、2#，2个整数解的和等于2^k-1；
以后每个2^k-1数段各有2个整数解，编号顺序增大，1,3,5#，2,4,6#之差都等于2^k-1；
例2^17-1在131071之内有2个整数解，3*131071之内有6个整数解，分别是：
解号 k a c 组间差两两和
1# 17 43811 14644 —— ——
2# 17 87260 58093 —— 131071
3# 17 174882 233337 —— ——
4# 17 218331 363684 131071 131071*3
5# 17 305953 714172 131071
6# 17 349402 931417 131071 131071*5

yangchuanju · 发表于 2024-4-14 21:34

若指数k是奇合数，且2^k-1分解式中只含有模6余1的素因子，例k=9,15……等能够整除，有整数解；
二合数2^9-1=511=7*73在2^9-1以内有4个整数解，编号1-4#，1#+4#=2#+3#=511,
以后每个2^9-1数段各有4个整数解，编号顺序增大，1,5,9#，2,6,10#，3,7,11#，4,8,12#之差都等于2^9-1；
解号 k a c 组间差两两和
1# 9 163 52 —— 1#+4#=511
2# 9 236 109 —— 2#+3#=511
3# 9 275 148 —— ——
4# 9 348 237 —— ——
5# 9 674 889 511 5#+8#=511*3
6# 9 747 1092 511 6#+7#=511*3
7# 9 786 1209 511 ——
8# 9 859 1444 511 ——

yangchuanju · 发表于 2024-4-14 21:34

三合数2^15-1=32767=7*31*151在2^15-1以内有8个整数解，编号1-8#，1#+8#=2#+7#=3#+6#=4#+5#=32767,
以后每个2^15-1数段各有8个整数解，编号顺序增大，1-9#，2-10#，3-11#，4-12#，5-13#，6-14#，7-15#，8-16#之差都等于2^15-1；
解号 k a c 组间差两两和
1# 15 6428 1261 —— 1#+8#=32767
2# 15 9599 2812 —— 2#+7#=32767
3# 15 13806 5817 —— 3#+6#=32767
4# 15 15790 7609 —— 4#+5#=32767
5# 15 16977 8796 —— ——
6# 15 18961 10972 —— ——
7# 15 23168 16381 —— ——
8# 15 26339 21172 —— ——
9# 15 39195 46884 32767 9#+16#=32767*3
10# 15 42366 54777 32767 10#+15#=32767*3
11# 15 46573 66196 32767 11#+14#=32767*3
12# 15 48557 71956 32767 12#+13#=32767*3
13# 15 49744 75517 32767 ——
14# 15 51728 81661 32767 ——
15# 15 55935 95484 32767 ——
16# 15 59106 106617 32767 ——

yangchuanju · 发表于 2024-4-14 21:35

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-15 06:09 编辑

假定：a，k，c都是正整数，对于不定方程(a^2+3)/(2^k-1)=c
当指数k是奇数时——
整除+2个整数解——2^k-1是素数
整除+至少4个整数解——2^k-1是合数
不整除（没有整数解）——2^k-1是素是合不能断定

当指数k是2以外合数时——
若指数k是2以外的偶数，其2^k-1分解式中不只含有模6余1的素因子及含2个或多个素因子3的，不能够整除，没有整数解；
如k=4,6,8,10,12,16,18,20等；
若其2^k-1分解式中只含有模6余1的素因子及1个素因子3的，可以整除，有整数解，如k=14，2^14-1=16383=127*129=127*3*43.

分母除了是2^k-1形式的整数外，也可以是一般素数13，合数91=7*13等；
在91以内能被7整除的2*13=26个，能被13整除的2*7=14个，能被91整除的有4个。

yangchuanju · 发表于 2024-4-15 08:58

令不定方程(a^2+3)/m=c的分母m等于（a,m,c都是正整数）：
7*13=91,7*19=133,13*19=247,7*31=217,13*31=403,19*31=589等二合数，第一数段中各有4个整数解；
7*13*19=1729，7*13*31=2821，7*19*31=4123等三合数，第一数段中猜想各有8个整数解；
7*13*19*31=53599等四合数，第一数段猜想有16个整数解；
7*13*19*31*37=1983163等五合数，第一数段猜想有32个整数解；
7*13*19*31*37*43=85276009等六合数，第一数段猜想有64个整数解；……

分母m a a^2+3 商c
91 19 364 4
91 33 1092 12
91 58 3367 37
91 72 5187 57
133 23 532 4
133 61 3724 28
133 72 5187 39
133 110 12103 91
1729 72 5187 3
1729 110 12103 7
1729 422 178087 103
1729 604 364819 211
1729 1125 1265628 732
1729 1307 1708252 988
1729 1619 2621164 1516
1729 1657 2745652 1588
53599 5259 27657084 516
53599 7026 49364679 921
53599 9249 85544004 1596
53599 13722 188293287 3513
53599 15139 229189324 4276
53599 15489 239909124 4476
53599 17712 313714947 5853
53599 23602 557054407 10393
53599 29997 899820012 16788
53599 35887 1287876772 24028
53599 38110 1452372103 27097
53599 38460 1479171603 27597
53599 39877 1590175132 29668
53599 44350 1966922503 36697
53599 46573 2169044332 40468
53599 48340 2336755603 43597

yangchuanju · 发表于 2024-4-15 12:27

素指数k的不定方程(a^2+3)/(2^k-1)=c在(2^k-1)数域内有两个整数解
证：设第一个整数解t已经求得，则
(t^2+3)/(2^k-1)=c
[(2^k-1-t)^2+3]/(2^k-1)
=[(2^k-1)^2-2t*(2^k-1)+t^2+3]/(2^k-1)
=(2^k-1)-2t+c
是整数，是不定方程的第二个整数解。
证毕！

素指数k的不定方程(a^2+3)/(2^k-1)=c在每个(2^k-1)数域内都有两个整数解
证：设第一对整数解t1和t2已经求得，则
(t1^2+3)/(2^k-1)=c1
(t2^2+3)/(2^k-1)=c2
[(2^k-1+t1)^2+3]/(2^k-1)
=[(2^k-1)^2+2*t1*(2^k-1)+t1^2+3]/(2^k-1)
=(2^k-1)-2*t1+c1
[(2^k-1+t2)^2+3]/(2^k-1)
=[(2^k-1)^2+2*t2*(2^k-1)+t2^2+3]/(2^k-1)
=(2^k-1)-2*t2+c2
都是整数，是不定方程的第二断整数解。
同理继续加上若干个2^k-1，都可得到一组整数解。
证毕！

太阳 · 发表于 2024-4-15 12:52

不定方程(a^2+3)/(2^37-1)=c，c取素数，可能找到1个整数解？

yangchuanju · 发表于 2024-4-15 12:57

7*13*19的整数解计算表
—— —— 494 266 182 76 52 28 8个整数解
a c 分母7 13 19 91 133 247 1729
72 3 1 1 1 1 1 1 1
110 7 1 1 1 1 1 1 1
422 103 1 1 1 1 1 1 1
604 211 1 1 1 1 1 1 1
1125 732 1 1 1 1 1 1 1
1307 988 1 1 1 1 1 1 1
1619 1516 1 1 1 1 1 1 1
1657 1588 1 1 1 1 1 1 1
19 1 1 0 1 0 0 0
33 1 1 0 1 0 0 0
58 1 1 0 1 0 0 0
124 1 1 0 1 0 0 0
149 1 1 0 1 0 0 0
163 1 1 0 1 0 0 0
201 1 1 0 1 0 0 0
215 1 1 0 1 0 0 0
240 1 1 0 1 0 0 0
254 1 1 0 1 0 0 0
292 1 1 0 1 0 0 0
306 1 1 0 1 0 0 0
331 1 1 0 1 0 0 0
345 1 1 0 1 0 0 0
383 1 1 0 1 0 0 0
397 1 1 0 1 0 0 0
436 1 1 0 1 0 0 0
474 1 1 0 1 0 0 0
488 1 1 0 1 0 0 0
513 1 1 0 1 0 0 0
527 1 1 0 1 0 0 0
565 1 1 0 1 0 0 0
579 1 1 0 1 0 0 0
618 1 1 0 1 0 0 0
656 1 1 0 1 0 0 0
670 1 1 0 1 0 0 0
695 1 1 0 1 0 0 0
709 1 1 0 1 0 0 0
747 1 1 0 1 0 0 0
761 1 1 0 1 0 0 0
786 1 1 0 1 0 0 0
800 1 1 0 1 0 0 0
838 1 1 0 1 0 0 0
852 1 1 0 1 0 0 0
877 1 1 0 1 0 0 0
891 1 1 0 1 0 0 0
929 1 1 0 1 0 0 0
943 1 1 0 1 0 0 0
968 1 1 0 1 0 0 0
982 1 1 0 1 0 0 0
1020 1 1 0 1 0 0 0
1034 1 1 0 1 0 0 0
1059 1 1 0 1 0 0 0
1073 1 1 0 1 0 0 0
1111 1 1 0 1 0 0 0
1150 1 1 0 1 0 0 0
1164 1 1 0 1 0 0 0
1202 1 1 0 1 0 0 0
1216 1 1 0 1 0 0 0
1241 1 1 0 1 0 0 0
1255 1 1 0 1 0 0 0
1293 1 1 0 1 0 0 0
1332 1 1 0 1 0 0 0
1346 1 1 0 1 0 0 0
1384 1 1 0 1 0 0 0
1398 1 1 0 1 0 0 0
1423 1 1 0 1 0 0 0
1437 1 1 0 1 0 0 0
1475 1 1 0 1 0 0 0
1489 1 1 0 1 0 0 0
1514 1 1 0 1 0 0 0
1528 1 1 0 1 0 0 0
1566 1 1 0 1 0 0 0
1580 1 1 0 1 0 0 0
1605 1 1 0 1 0 0 0
1671 1 1 0 1 0 0 0
1696 1 1 0 1 0 0 0
1710 1 1 0 1 0 0 0
23 1 0 1 0 1 0 0
61 1 0 1 0 1 0 0
156 1 0 1 0 1 0 0
194 1 0 1 0 1 0 0
205 1 0 1 0 1 0 0
243 1 0 1 0 1 0 0
289 1 0 1 0 1 0 0
327 1 0 1 0 1 0 0
338 1 0 1 0 1 0 0
376 1 0 1 0 1 0 0
460 1 0 1 0 1 0 0
471 1 0 1 0 1 0 0
509 1 0 1 0 1 0 0
555 1 0 1 0 1 0 0
593 1 0 1 0 1 0 0
642 1 0 1 0 1 0 0
688 1 0 1 0 1 0 0
726 1 0 1 0 1 0 0
737 1 0 1 0 1 0 0
775 1 0 1 0 1 0 0
821 1 0 1 0 1 0 0
859 1 0 1 0 1 0 0
870 1 0 1 0 1 0 0
908 1 0 1 0 1 0 0
954 1 0 1 0 1 0 0
992 1 0 1 0 1 0 0
1003 1 0 1 0 1 0 0
1041 1 0 1 0 1 0 0
1087 1 0 1 0 1 0 0
1136 1 0 1 0 1 0 0
1174 1 0 1 0 1 0 0
1220 1 0 1 0 1 0 0
1258 1 0 1 0 1 0 0
1269 1 0 1 0 1 0 0
1353 1 0 1 0 1 0 0
1391 1 0 1 0 1 0 0
1402 1 0 1 0 1 0 0
1440 1 0 1 0 1 0 0
1486 1 0 1 0 1 0 0
1524 1 0 1 0 1 0 0
1535 1 0 1 0 1 0 0
1573 1 0 1 0 1 0 0
1668 1 0 1 0 1 0 0
1706 1 0 1 0 1 0 0
表中1表示是整数解，0表示表示整数解。

太阳 · 发表于 2024-4-15 13:23

太阳发表于 2024-4-15 12:52
不定方程(a^2+3)/(2^37-1)=c，c取素数，可能找到1个整数解？

a=10571224606，c＝813094009，c是合数
c取素数，可能找到一个整数解

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(a^2+3)/(2^k-1)=c的整数解个数

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