|
题 已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,求 f(0)+f(4) 。
解 令 F(x)=f(x)-x^4=ax^3+bx^2+cx+d ,F(x) 是一个三次多项式。
在等距节点 x=0,1,2,3,4 上,三次多项式 F(x)=f(x)-x^4 的函数值的四阶差分必定等于 0 。
x 0 1 2 3 4
F(x)=f(x)-x^4 F(0)=f(0) F(1)=f(1)-1=0 F(2)=f(2)-16=-14 F(3)=f(3)-81=-78 F(4)=f(4)-256
↘ ↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘ ↙
一阶差分 0-f(0)=-f(0) -14-0=-14 -78-(-14)=-64 f(4)-256-(-78)=f(4)-178
↘ ↙ ↘ ↙ ↘ ↙
二阶差分 -14-[-f(0)]=f(0)-14 -64-(-14)=-50 f(4)-178-(-64)=f(4)-114
↘ ↙ ↘ ↙
三阶差分 -50-[f(0)-14]=-f(0)-36 f(4)-114-(-50)=f(4)-64
↘ ↙
四阶差分 f(4)-64-[-f(0)-36]=f(0)+f(4)-28
因为三次多项式 F(x)=f(x)-x^4 的四阶差分等于 0 ,即有 f(0)+f(4)-28=0 ,所以 f(0)+f(4)=28 。 |
|