上面 f(x) 具有的形式是一个简单的微分方程,我们对两边同时积分:就为我们提供了正态分布的 PDF ,归一化常数即可得下面的式子:
拉普拉斯和中心极限定理
皮埃尔·西蒙·拉普拉斯(Pierre Simon Laplace)是另一位研究概率的法国数学家。他对均值的概念很感兴趣,特别是试图在进行重复实验时计算误差。他对这个主题的研究使他接近于发现正态分布方程。误差的分布确实是高斯分布。拉普拉斯对这一事实的进一步探索和证明,结合他早期关于归纳推理概率理论的著作,是我们现在所说的贝叶斯推理的基础。下面的视频是所谓的高尔顿板,用来模拟二项分布如何收敛到正态分布。
将一切结合在一起
总而言之,我们今天所知道的正态分布或高斯分布来自三个完全不同的方向:拉普拉斯在对均值进行抽样时的误差研究,高斯对测量误差的观察,以及,亚伯拉罕·棣莫弗试图用非常大的 N 近似二项分布。这些不同的问题都汇聚到同一个答案:正态分布。这也是数学中最令人欣喜的事情,来自不同专业的人们发现了我们宇宙的固有部分都聚集在一起。