Holonomy 就是测试向量在绕环路平行移动并与移动前的自身进行比较时,与起点的偏离程度。我喜欢将黎曼曲率张量看作是一个矩阵(变换)值函数 R(X,Y) ,它是两个向量 X 和 Y 的函数,这两个向量定义了一个无穷小的平行四边形环路。变换将第三个向量 Z 映射到它在绕小环路平行移动时所经历的变化,如下图所示。
偏差与 X 和 Y 定义的平行四边形所围成的环路面积成正比。黎曼张量接受两个向量 X 和 Y,并输出一个变换 R(X,Y) 。然后,将此变换施加到 Z 上,以计算 Z 由于绕环路平行移动而引起的变化。用符号表示,变换可以写成一阶形式
一个空间是欧几里得空间当且仅当这个变换是恒等变换,即当且仅当向量在绕任何可能的环路平行移动时不发生变化。因此,变化的大小精确量化了空间的非欧几里得性。证明度量在开邻域 P 内定义了一个平坦空间当且仅当黎曼张量 R 在这个邻域内处处消失,这个证明非常简单,提供了深刻的洞察。