刘谦春晚魔术中全网未讨论的数学问题

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刘谦春晚魔术中全网未讨论的数学问题

来源 | 和乐数学

撰文 | 南山莲子

刘谦在今年春晚的第一个魔术表演中隐含着数学问题，但鲜见科普文章提及。实际上，这里的问题或许更受数学家们关注。

刘谦在春晚表演的第二个“魔术”，其实就是数学原理的应用。相关的解释已有不少。

这类利用数学原理进行表演的扑克游戏有不少。如袁亚湘院士就曾在央视表演过一些数学扑克魔术。

看刘谦春晚魔术不过瘾？院士给您讲解数学魔术

刘谦在今年春晚的第一个魔术表演中也有数学现象。但鲜见有普及文章提及。实际上，其中的数学问题或许更受数学家们关注。



让我们回顾下。

刘谦在第一个魔术表演开始时夸张地说，

这位先生和这位小姐，从三天前就开始洗牌，洗到现在还停不下来。让我来反问下，您打算洗到什么时候？满意了吗？

随后刘谦表演了短时间内洗出四条龙（假设一副扑克牌有 52 张），而且最后一条龙还暗合现场时刻。

一副 52 张扑克牌的扑克有 52! 种排法。所以得到四条龙的特定排法的概率为 1/52! 。

这是一个极其微小的概率。数学家李特伍尔德曾如此定义奇迹：“奇迹就是发生的概率小于一百万分之的概率的事件。”在这个意义上，春晚观众确实如刘谦所说，见证了奇迹。

虽然搞笑，但不妨启发人们思考如下重要问题：

如何洗牌？洗多久能洗好？哪种洗牌方法需要时间最少？

完美洗牌

有赌博必然有洗牌。因而也产生了很多洗牌的方法。

下面仅考虑一种所谓的完美洗牌。这是一种交错洗牌法。又分为内洗法和外洗法。



首先，将一副牌分成相等的两摞。

外洗法使牌交替放置成如下顺序：第一摞的第一张牌、第二摞的第一张牌、第一摞的第二张牌、第二摞的第二张牌，……。

内洗法：先交换两摞牌的位置，再按外洗法的方法排列牌。

示例如下：

假设你的牌组有12张牌，由上到下如下排列：

A，2，3，4，5，6，7，8，9，J，Q

从中间将其分成两摞：

第一摞是

A，2，3，4，5，6 ；

第二摞是

7，8，9，J，Q  。

所谓外洗法就是把牌按如下顺序排列牌：

A，7，2，8，3，9，4，10，5，J，6，Q 。

而内洗法是先把这两摞牌交换，其后再按外洗法的方式交错洗牌，得牌序如下：

7，A，8，2，9，3，10，4，J，5，Q，6 。

洗牌群

将一副扑克牌的 52 张牌分别标记为 0，1，2，3，…，51 。

这种标记方法是不记录牌的点数和花色，相当于仅仅记录各张牌的位置，只不过将最上面的牌标号为 0 ，这是为了后面的数学处理（模运算）方便。

一次洗牌就是这 52 个数字的排列。前面已经介绍，总的排列数为 52! 。全体排列组成一个排列群。

如果仅考虑一副只有 6 张牌 0，1，2，3，4，5 的牌组。

6 张牌共有 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720  种排列方法。

但我们可以只考虑由外洗、内洗所能得到的牌的排列方式。

先只考虑外洗法。可以得到的排列如下：

1. 分成两摞：

    0，1，2 ；

    3，4，5 。

外洗可得：

    0，3，1，4，2，5 。

2. 再分成两摞，可得

    0，3，1 ；

    4，2，5 。

外洗可得：

    0，4，3，2，1，5 。

3. 再分成两摞，可得

    0，4，3 ；

    2，1，5 。

外洗可得：

    0，2，4，1，3，5 。

4. 再分成两摞，可得

    0，2，4 ；

    1，3，5 。

外洗可得：

    0，1，2，3，4，5 。

由此可见，经过 4 次外洗，可以回到原先的顺序。

还可知道，由外洗可得 4 个排列：

    0，1，2，3，4，5 。

    0，3，1，4，2，5 。

    0，4，3，2，1，5 。

    0，2，4，1，3，5 。

类似地，也可以考虑内洗，经过有限次内洗，也可以回到原先的顺序。

还可以考虑全体内洗、外洗所得的排列，如此得到的排列的全体，被称为完美洗牌群。

完美洗牌群是全体排列组成的一个群的子群。

一个最简单情况是两张牌的情形。设有 0,1 两张票。全体排列如下：

   （0，1）（1，0）

设原始顺序为（0，1），则外洗只能得到它自己。如果考虑内洗，则所得完美洗牌群就是全体排列组成的群。

考虑完美洗牌群的大小是一个有趣的问题。

如果只有 6 张牌，总共有 6! = 720 种排法。但完美洗牌群只有 24 种排法。

类似地，若一共有 10 张牌，则洗牌群共有 1920 种排列。若一共有 14 张牌，则洗牌群共有 320,000 种排列。若一共有 26 张牌，则洗牌群共有超过 25 万亿种排列。

上述例子暗示，如果增加牌的张数，则洗牌群的数目按指数增加。

然而，如果牌的张数是 2 的指数次，则洗牌群的数目按指数减少。例如，若牌的张数为 2^4 = 16 张，则洗牌群的大小为 64 。若牌的张数为 2^5 = 32 张，则洗牌群的大小为 16 。

洗多少次

从前面一副牌是 6 张牌的例子可以看出，若只用外洗法，则只要 4 次就可以复原。

那么，对一副 52 张牌的扑克牌，用外洗法，多少次后就复原了？

设 52 张牌排列如下：

    0，1，2，3，…，49，50，51 。

分成两堆，上面那堆为

    0，1，…，25 。

下面那堆为

    26，27，…，51 。

交错洗牌得

    0，26，1，27，2，…，24，50，25，51 。

可见，第一堆中原来位置在 x（26≤x≤51）处的牌被放到新堆的处。例如，2 在第一次外洗后，被放到 4 位置。类似地，位置在 x（26≤x≤51）处的元素在新的堆中排在 2x-51 位置处。

利用模算法，一次外洗将 x 换到 2x（mod 51）处；

两次外洗将 x 换到;2^2 x（mod 51）处，等等。

从而，若 k 次外洗可以将 x 换到 x 处，则应有

    2^k x ≡ x（mod 51）。

求解上述方程，可知

       k = 8 。

这是因为我们有下表



也就是说，外洗 8 次相当于什么也没做。

洗牌还有很多数学问题，上面仅仅简单介绍了一点基础。有兴趣的网友可以进一步阅读相关资料。

本文转载自微信公众号“和乐数学”。

返朴 2024-02-14 09:36 湖南