从黎曼积分到勒贝格积分，为什么转了 90 度的划分方式，原来不可积分变可积分了呢？

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从黎曼积分到勒贝格积分，为什么转了 90 度的划分方式，原来不可积分的函数变可积分了呢？

原创 Masir123 科学羊 2024-02-06 07:43 广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 29 篇。

我们知道，积分的函数必须是连续的，所谓连续，是指在被积分的区域内，只有有限个不连续的地方。



如图，f(x) ，它在 b 不连续，除此外都是连续的，所以要计算 a 到 d 的积分



我们就可以将它分为从 a 到 b ，从 b 到 c ，再从 c 到 d 三段积分，即



其中，图中的点线是 f(x) 的原函数 F(x) ，根据牛顿-莱布尼茨定理得：

F(d)-F(a) 就是上述积分。

如果 a 到 d 之间每一个点不连续会怎么办？那么积分就没法用。

比如，狄利克雷函数（Dirichlet function）：




狄利克雷函数

这个函数由于每一个点都不是连续，其实无法在坐标系中画出它的图像，只能用虚线显示一个大概！

如图，上面的部分表示 x 是有理数的情况，而下面部分是 x 为无理数的情况。

假设我们按照积分的定义来计算的话，无论将区间 Δx 取得多小，也算不出一个区间 [0,1] 的面积，因为如果相应的 xi 是有理数，f(xi)=1 ，这个区间的面积就是 Δx ，如果每一个区间都这么取，将这个函数从 0 到 1 进行积分，就得到



如果，每次取的 x 都是无理数，f(xi)=0 ，算出来的积分就是 0 ，即



这就矛盾了！也就是说函数的积分不存在。

怎么办？

我们用黎曼的方法，



黎曼的方法是，把一个函数垂直地划分很多区域，然后计算每个区域的面积。

那么对于狄利克雷函数，我们对它进行函数值划分后，只有 f(x)=1 和 f(x)=0 的区域有对应的变量，或者说它们的宽度可能不为零，其余都是零。



如下图所示，[0,1] 区间内对这个函数进行积分，只要把值等于 0 的点（所有无理数）的总长度 l0 × 函数值 0 ，再把这个区域内函数值 = 1 的点（所有有理数）总长度 l1 × 函数值 1 ，然后再相加即可，即



那么，接下来就是 0 和 1 之间，无理数放在一起的长度 l0 是多少？ l1 的长度是多少？

法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）给出一个度量的方法，他把这种满足条件的数字放在一起的“长度”称为测度。

具体是 0-1 之间的实数长度是 1 ，无理数的数量是有理数的无穷多倍，因此，无理数的测度 l0=1 ，有理数 l1=0 ，所以，狄利克雷函数的积分就是

0×1 + 1×0 = 0 。

接下来我们再科普一下关于“黎曼积分”和“勒贝格积分”以及它们之间的微妙。

黎曼积分


分割越细的黎曼和。右上角的数字=所有矩形面积（黎曼和）｜ 来自 wiki

黎曼积分是最初和最直观的积分概念之一，通常在初级微积分课程中介绍。

黎曼积分的关键在于竖直方向的划分——即沿函数的定义域进行划分。

黎曼积分是通过将函数的定义域（通常是一段区间）划分成许多小区间，然后在每个小区间选取一个点的函数值，乘以该小区间的长度，再将所有这些乘积的和作为积分的近似值。

随着划分的越来越细，这些近似值的极限（如果存在）被定义为函数在该区间上的黎曼积分。这种方法本质上是沿着 x 轴对函数进行“竖直”切割。

勒贝格积分



勒贝格积分采用不同的方法，它不是划分定义域，而是根据函数的值进行“水平”划分。

这种方法考虑函数取值的分布，将这些值划分为不同的层次（即函数值的区间），然后对每个层次的贡献进行度量，考虑这些层次在定义域上的“覆盖”情况。

勒贝格积分的关键在于对函数值进行分类和度量，这使得它能够处理一些在黎曼积分意义下不可积分的函数。

那么，从黎曼积分到勒贝格积分，简单地讲就是由竖着划分区域变成横着划分，为什么转了 90 度的划分方式，原来不可以积分的函数就变成了可积分的呢?

为什么转变划分方式可以让原本不可积分的函数变得可积分？


计算曲线下方的面积，既可以按照变量 x 分割相加，也可以按照函数值 f(x) 分割相加，图片来自《数学通识讲义》

从黎曼积分到勒贝格积分的这种转变，实际上是从如何对函数进行“切割”来考虑积分的方法上进行的一种根本性变化。

原因在于勒贝格积分能够更有效地处理函数在定义域上的不连续性和复杂性。

通过考虑函数值的分布而不是简单地按定义域划分，勒贝格积分可以适应函数值变化的复杂模式，尤其是当函数在大多数点上的行为良好，但在某些小区域或点上表现出极端行为（如狄利克雷函数）时。

这种“横向”划分方式允许勒贝格积分在度量函数的“整体”累积量时，有效地“忽略”那些影响微小或测度为零的部分。

简单地说，勒贝格积分之所以能让一些原本在黎曼积分意义下不可积的函数变得可积，是因为它采用了一种更灵活的方法来考虑函数在其定义域上的整体行为，特别是在处理函数值分布的复杂性方面更为有效。

好，今天就先这样啦～

祝幸福～

参考文献：

[1].《吴军数学通识讲义》

科学羊 2024/02/06