最新一钟算法，求：x^(n+1)+y^(n+1)=z^n

lusishun

的正整数解。从简单的例子：
求x^4+y^4=z^3的一组正整数解。
因为3^2-1=(3+1)(3-1),
所以
利用a^(n^2-1)+b^(n^2-1)=c^(n^2),
所以原方程的解是；
X=[2^(3-1)]
Y=[2^(3-1)],
Z=2^3,

验算：
4^4+4^4=(2^3)^3?
256+256=8^3=512.
正确。

lusishun

统一做指数小一点点吧：
X^13+y^7=z^19,
除步确定六种类型的解，程先生的整体换元法，可以囊括所有的解。

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一：
求出最小的k，m，使得13·7k+119m，
k=5，
m=24，
所以有：
（2^35)^13+(2^65)^7=(2^24)^19,

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二，求出13·7k=19m+1最小的
k=14，
m.=67，
所以有，
（2^98)^13+(2^182)^7=(2^67)^19.

lusishun

三，
求出13·19k+1=7m
最小的k=3，
m=106，
原方程有解：
X=(a^741-1)^57,
Y=(a^741-1)^106,
Z=[a(a^741-1)]^39.

(a是大于1的整数）

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四，求13·19k=7m+1
中最小的k=4，
m=141，
所以原方程有解：
X=(a^974168-1)^76,
Y=(a^974168-1)^141,
Z=[a(a^974168-1)]^52.

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五，
由13k+1=7·19m，
得k=92，m=9,
所以原方程的解：
X=(a^1196-1)^92,
Y=(a^1196-1)^171,
Z=[a(a^1196-1)]^63.

(a为大于1的整数）

lusishun

六
X=(a^532-1)^53,
Y=(a^532-1)^76,
Z=[a(a^532-1)]^28.


程先生的整体换元法，可能囊括以上六种形式的所有解。欢迎网友验算。

朱明君

\(设n为大于等于0的整数，\)
\(则\left( 2^n\right)^{n+2}+\left( 2^n\right)^{n+2}=\left( 2\times\left( 2^n\right)\right)^{n+1}\)

朱明君

，，，，，，，，