原来在数学上 0.999 999… = 1 ，不信你看这个证明，数学家戴德金的秘密武器！

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原来在数学上 0.999 999… = 1 ，不信你看这个证明，数学家戴德金的秘密武器！

原创 Masir123 科学羊 2024-02-05 07:27 广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 28 篇。

“ 其实学数学可以很有意思，也可以很简单，怎么做？

去追求这个知识发展的过程，一个概念从开始到结束，可能中途发生了很多事，也可能经历了好几代人…但是越艰难，也会越难，但数学的终极目标还是——一个公式而已！”

——科学羊

接上篇～

戴德金分割，是一种数学上定义实数的方法，由德国数学家理查德·戴德金在 19 世纪提出。


理查德·戴德金，Richard Dedekind  来自 WIKI

这种方法通过将数轴上的点分成两个不相交的集合来定义实数，其中一个集合包含所有小于某个数的点，另一个集合包含所有大于或等于这个数的点，那么这两个集合被称为戴德金切割。

具体来说，戴德金分割的思想是这样的：假设有一个数轴，上面有无穷多的点代表不同的数。



如果我们挑选一个点作为标记，将数轴“切割”成两部分，那么所有在这个点左侧的数（即比这个数小的数）就构成了一个集合。

另外，在这个点右侧（包括这个点本身，即这个数及比这个数大的数）的数构成了另一个集合。

这两个集合的分界线就是那个被挑选的点，代表了一个实数，无论这个点对应的是有理数还是无理数。

等下我们用数学方法给大家科普下，很有趣～

戴德金分割的重要性在于它提供了一种严格的方法来定义实数，特别是无理数。

在戴德金的构想中，即便是无法直接用分数表示的数（无理数），也可以通过这种分割的方式在数轴上找到它们的“位置”。

这个方法有效地填补了有理数之间的“空隙”，使得数学家能够用更加完备和连续的实数系统来描述数学世界，为微积分和其他数学分支的发展奠定了基础。

看到没，主要是无理数！！所以这正好可以填补牛顿和莱布尼茨他们用语言表达不清楚的 bug 。

戴德金对实数的分割理论其实是一个很好的思想，因为他不是把实数看作一个点，而是两种反向趋势的分割线。

如下图：



右边的部分是集合 A ，左边集合 A' 。

在 A 集合中，给定一个有理数，总能找到一个比它更小的有理数。

如图，从 2/1 开始，向左移动，2/3 ，17/12 ，99/70 ，577/408 ，3363/2378 ，… ，其实我们可以不断找到比前一个更小的数。

类似左边从 1 开始向右，7/5 ，41/29 ，239/169 ，… ，1393/985 ，… 。

如上所说，通过戴德金分割的巧妙设计，数学家们将每一个有理数与一种特定的在数轴上的切割方式紧密联系起来。

这种方法不仅填补了有理数之间的空缺，定义了无理数，也使得有理数与无理数共同织就了实数集这一广阔的数学领域。

当然，有理数的起点是整数，而整数的定义，又是建立在集合论这一基础之上的，一旦我们掌握了整数，通过引入乘法的逆运算，有理数的概念便水到渠成。

从集合论的基础出发，经过一系列严谨的逻辑推演，我们到达了戴德金分割的概念，这一切都显示了数学家们如何将数这一似乎“自然存在”的概念转化为了一套严格的公理化体系。

在这一系列的努力中，值得特别提及的是著名数学家希尔伯特。

他通过定义了三大类公理（域公理、序公理和完备性公理），为整个实数系统提供了一个清晰的描述，包括实数的性质及其运算规则。

在希尔伯特的公理体系下，微积分中微分的部分——包括导数和极限的概念——得到了严格而逻辑性的定义和解释。这不仅是对数学方法的一种革新，也为后续的数学研究和应用提供了坚实的理论基础。

戴德金分割在有理数之间补足了无理数，让整个数轴变得连续了，也就是任何两个“很靠近”的实数 r1 和 r2 之间，还有无数个实数。

这个结论很容易证明，因为 r3=(r1+r2)/2 就是它们中间的一个实数，而 r4=(r2+r3)/2 又是它们之间的另一个实数，这个过程可以无限重复下去。

当我们把戴德金分割从有理数的范围扩展到实数的范围，A 和 A' 只会出现两种情况，也就是 A 有最小的元素，A' 没有最大的元素，或者反过来。

不会出现有理数条件下出现过的第三种情况。

这样，在实数轴上的一个戴德金分割 ( A ，A' ) ，都唯一地确定一个实数 r 。这个性质通常被表述为戴德金实数完备性（连续性）公理。

好，接下来我们看个例子：按照戴德金分割来证明 0.99999… = 1 。

0.999 999 … 是一个循环小数，因此它是一个有理数，因此我们就在有理数域的范围内，对所有的有理数做戴德金分割。

若，两个有理数 q1 和 q2 要相等，充分和必要条件就是它们对应的分割 C1 和 C2 要相等。

设，C1 把有理数分割成 A1 和 A1' ，C2 把有理数分割成 A2 和 A2' ，那么我们只要证明 A1 = A2（当然同时自然就会有  A1' = A2' ），就证明了分割 C1 和 C2 相同，进而证明了 q1 和 q2 相等。

令:

A1={ 所有 ＜ 1 的有理数集合},

A2={ 所有 ＜ 0.999 999 … 的有理数集合}。

显然，A1 包含 A2  ，即  ，因为小于 0.999 999… 的数一定小于 1 。接下来我们只要证明  即可。

对于 A1 中任何一个元素 q = m/n（其中 m 和 n 为整数），都满足 q ＜ 1，即 m ＜ n 。因此存在一个整数 d ，使得 d ≤ n-m ，即 q = m/n ≤ 1-d/n 。我们选取一个正整数 k ，使得 10^-k ＜ d/n ，显然 10^-k 也是一个有理数。这样就有:

（一共 k 个 9 ）

显然 0.999…99（一共 k 个 9 ）要比 0.999 999…（无限个9）要小。因此 q 在 A2 当中，即  。

由于 q 是 A1 的任意一个元素，A1 中的每一个元素都属于 A2 ，于是  ，再结合  ，那么这两个集合相等，即 A1 = A2 。

于是相应的分割 C1 和 C2 也相等，那么它们分别对应的有理数 1 和 0.9999 … 也是相等的，所以 0.99999… 并不是仅仅无限趋近于 1 ，而是等于 1 。

另外，还有 2 种方法，大家看图片即可～





好，今天就先这样啦！

祝幸福～

参考文献：

[1].《吴军数学通识讲义》

[2]. 关于 0.9999…= 1 的证明方法来自吴军的《数学通识讲义》，感兴趣的朋友自行查看

[3]. 部分图片版权归科学羊所有

科学羊 2024/02/05