再论连乘积误差

lusishun

精神可嘉，在误差的泥潭中，摸爬滚打，沾了满身泥葩，也在所不悔，勇往直前，继续滚爬。

yangchuanju

继续以用210=2*3*5*7筛分为例说明如下，
所有偶数可分成(1)由素数2357合成的偶数210n；(2)仅由235合成的偶数210n+30,+60,……+180；(3)仅由237合成的偶数210+42,+84,+168,+168；(4)仅由257合成的偶数210n+70,+140；
(5)仅由23合成的偶数210n+6,+12,+18,……+204；(6)仅由25合成的偶数210n+10,+20,……+200；(7)仅由27合成的偶数210n+14,+28,……+196；(8)不是357倍数的偶数210n+2,+4,+8,+16,+22,+26，……+(3)208八大类，在用210筛分时连乘积计算式和误差是：
(1)由素数2357合成的偶数210n，连乘积互素数对数等于210n/2*2/3*4/5*6/7=48n，实际筛余互素数对数也是48n，误差为0；
(2)仅由235合成的偶数210n+30，连乘积互素数对数等于(210n+30)/2*2/3*4/5*5/7=40n+40/7，实际筛余互素数对数也是40n+6，误差为-2/7，其余误差也都是7分子几；
(3)仅由237合成的偶数210n+42，连乘积互素数对数等于(210n+42)/2*2/3*3/5*6/7=36n+36/5，实际筛余互素数对数也是36n+8，误差为-4/5，其余误差也都是5分子几；
(4)仅由257合成的偶数210n+70，连乘积互素数对数等于(210n+70)/2*1/3*4/5*6/7=24n+8，实际筛余互素数对数也是24n+8，误差为0；210n+140的误差也是0；
(5)仅由23合成的偶数210n+ 6，连乘积互素数对数等于(210n+6)/2*2/3*3/5*5/7=30n+6/7，实际筛余互素数对数也是30n，误差为6/7，其余误差也都是7分子几；其中210n+156有最大正误差16/7，210n+54有最大负误差-16/7；
(6)仅由25合成的偶数210n+10，连乘积互素数对数等于(210n+10)/2*1/3*4/5*5/7=20n+20/21，实际筛余互素数对数也是20n，误差为20/21，其余误差也都是21分子几；
(7)仅由27合成的偶数210n+14，连乘积互素数对数等于(210n+14)/2*1/3*3/5*6/7=18n+6/5，实际筛余互素数对数也是18n+2，误差为-4/5，其余误差也都是5分子几；
(8)不是357倍数的偶数210n+2，连乘积互素数对数等于(210n+2)/2*1/3*3/5*5/7=15n+1/7，实际筛余互素数对数也是15n+1，误差为-6/7，其余误差也都是7分子几。
对于（5），其中210n+156有最大正误差16/7，210n+54有最大负误差-16/7。
除误差为0的210n，210n+70，210n+140以外其余偶数的误差都是7分子几，21分子几，5分子几；
是因为连乘积中4个分数相乘互相约分的结果。

类似的2310系统中的误差还会有11分子几、77分子几、231分子几、55分子几；
30030系统中的误差还会有13分子几、91分子几、65分子几、143分子几等等。

yangchuanju

吴代业WDY数对个数
所有偶数可分成30n、30n+2,+4,+8,+14,+16,+22，+26，+28、30n+6,+12,+18,+24、30n+10,+20四大类，在用30筛分时连乘积计算式是：
1、30n类偶数筛余互素数对数S=30n/2*2/3*4/5=8n；
2、30n+2k类偶数筛余互素数对数S=(30n+2k)/2*1/3*3/5=3n+k/5；k=1,2,4,7,8,11,13,14；
3、30n+6k类偶数筛余互素数对数S=(30n+6k)/2*2/3*3/5=6n+6k/5；k=1,2,3,4；
4、30n+10k类偶数筛余互素数对数S=(30n+10k)/2*1/3*4/5=4n+4k/3；k=1,2；
对于1，实际筛余互素数对数就是8n，连乘积计算式误差等于0；
对于2，当k=1时，实际筛余互素数对数等于3n+1，误差(3n+1/5)-(3n+1)=-4/5；其余k从略；
对于3，当k=1时，实际筛余互素数对数等于6n，误差(6n+6/5)-6n=6/5；其余k从略；
对于4，当k=1时，实际筛余互素数对数等于4n，误差(4n+4/3)-4n=4/3；当k=2时，实际筛余互素数对数等于4n+4，误差(4n+8/3)-(4n+4)=-4/3。

现只考虑第4类偶数（其余类似从略），对于30n+10互素数对数连乘积计算值等于4n+4/3，实际筛分互素数对数等于4n（误差等于4/3);
n=0，10=3+7=5+5=7+3在与30互素的互素数系统中不算数，互素数对数或素数对数为0；
n=1，40=11+29=17+23=23+17=29+11，互素数对数等于4；
n=2，70=11+59=17+53=23+47=29+41=41+29=47+23=53+17=59+11，互素数对数等于8；……
n=33，1000=11+989=17+983=……=989+11，互素数对数等于132；若只计其中的一类11+989、41+959，并单计还有33对互素数对；……
n=333，10000=11+9989=17+9983=……=9989+11，互素数对数等于1332；若只计其中的一类11+9989、41+9959，并单计还有333对互素数对；
……
在n=33的33互素数对数中，有20个素数对，13个非素互素数对；
在n=333的333互素数对数中，有153个素数对，180个非素互素数对；
吴代业先生能够从这些个例中证明出哥德巴赫猜想吗？

重生888@

吴代业先生能够从这些个例中证明出哥德巴赫猜想吗？

杨传举发表“偶数10000的1+2成立声明”，当然能证明0+0（1+1）成立！想得到该得到的启发，也要有点交换条件！

志明

http://www.mathchina.com/bbs/for ... 0&fromuid=34257
《运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷》

愚工688

唯有我研究了连乘式计算的误差问题，才能够高精度的计算大偶数区域的偶数的素数对的数量。
1亿-500亿的取样样本的相对误差的统计计算数据：
（标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本平均值）

100000000 -   100000098 : n= 50 μ= .1192  σx= .0013  δ(min)= .1156  δ(max)= .1224
1000000000 - 1000000098 : n= 50 μ= .1368  σx= .0004  δ(min)= .1356  δ(max)= .138
2000000000 - 2000000098 : n= 50 μ= .1406  σx= .0003  δ(min)= .1399  δ(max)= .141
3000000000 - 3000000098 : n= 50 μ= .1431  σx= .0002  δ(min)= .1425  δ(max)= .1435
4000000000 - 4000000098 : n= 50 μ= .1449  σx= .0003  δ(min)= .1441  δ(max)= .1456
5000000000 - 5000000098 : n= 50 μ= .1462  σx= .0003  δ(min)= .1456  δ(max)= .1468
5999999990 - 6000000088 : n= 50 μ= .1471  σx= .0002  δ(min)= .1466  δ(max)= .1474  
8000000000 - 8000000050 : n= 26 μ= .1486  σx= .0002  δ(min)= .1481  δ(max)= .1490
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494  σx= .0002  δ(min)= .1491  δ(max)= .1497
15000000000-15000000098 : n= 50 μ= .15159 σx= .00014 δ(min)= .1511  δ(max)= .15185
20000000002-20000000100 : n= 50 μ= .15281 σx= .00011 δ(min)= .1525  δ(max)= .15307
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001  δ(min)= .15474 δ(max)= .15519
40000000002-40000000100 : n= 50 μ= .15614 σx= .00008 δ(min)= .1559  δ(max)= .15637  
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571  σx= .0001  δ(min)= .1569  δ(max)= .1573

计算一下今天日期的百倍的连续偶数的素对数量的连乘式计算值，看看精度怎么样？

Sp( 2024020700 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020700 /2 -2)*p(m) ≈ 4940518.5 , 精度= 0.99943；
Sp( 2024020702 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020702 /2 -2)*p(m) ≈ 3568997.8 , 精度= 0.99966；
Sp( 2024020704 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020704 /2 -2)*p(m) ≈ 6426996.6 , 精度= 0.99970；
Sp( 2024020706 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020706 /2 -2)*p(m) ≈ 3212098.1 , 精度= 0.99981；
Sp( 2024020708 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020708 /2 -2)*p(m) ≈ 3212412.7 , 精度= 0.99969；
Sp( 2024020710 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020710 /2 -2)*p(m) ≈ 8733547.7 , 精度= 0.99945；
Sp( 2024020712 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020712 /2 -2)*p(m) ≈ 3854517.7 , 精度= 0.99959；
Sp( 2024020714 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020714 /2 -2)*p(m) ≈ 3680441.3 , 精度= 0.99962；
Sp( 2024020716 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020716 /2 -2)*p(m) ≈ 6424196.2 , 精度= 0.99924；
Sp( 2024020718 *) = 1/(1+ .1411 )*( 2024020718 /2 -2)*p(m) ≈ 3223778.4 , 精度= 0.99956；


素对真值：
G(2024020700) = 4943341
G(2024020702) = 3570222
G(2024020704) = 6428894
G(2024020706) = 3212699
G(2024020708) = 3213398
G(2024020710) = 8738350
G(2024020712) = 3856085
G(2024020714) = 3681850
G(2024020716) = 6429058
G(2024020718) = 3225206


附注：
计算式中：
p(m)=1/2*π[(p-2)/p]*π[(p1-1)/(p1-2)];
其中
奇素数 p≤√(M-2);  p1：偶数含有的奇素数，p1≤p；
相对误差修正系数：1/(1+ .1411 )，适应于【15亿——30亿）内的偶数的素数对值的计算。(经验公式)
k(m)=π[(p1-1)/(p1-2)]; k(m)可称为波动系数，它形象的描绘出偶数素数对数量的计算值的波动幅度。

重生888@

手工计算，断定1012010353是质数！这次不会错！

愚工688

总结偶数的连乘式积的误差规律，并不需要什么偶数的分类，就能够比较高精度的计算连续的偶数的素对，这是不容置疑的。

以今天日期的十倍起始的连续偶数的素对数量的计算：


G(202402080) = 1089420 ；Sp( 202402080 *)≈  1089017 , jd ≈0.99963；
G(202402082) = 408066 ；Sp( 202402082 *)≈  408381.4 , jd ≈1.00077；
G(202402084) = 409098 ；Sp( 202402084 *)≈  409030.6 , jd ≈0.99984；
G(202402086) = 817726 ；Sp( 202402086 *)≈  816762.8 , jd ≈0.99882；
G(202402088) = 490188 ；Sp( 202402088 *)≈  490057.7 , jd ≈0.99973；
G(202402090) = 605704 ；Sp( 202402090 *)≈  605009.5 , jd ≈0.99885；
G(202402092) = 818129 ；Sp( 202402092 *)≈  817774.9 , jd ≈0.99957；
G(202402094) = 408710 ；Sp( 202402094 *)≈  408381.4 , jd ≈0.99920；
G(202402096) = 454079 ；Sp( 202402096 *)≈  453322.9 , jd ≈0.99834；
G(202402098) = 865029 ；Sp( 202402098 *)≈  864807.7 , jd ≈0.99974；
start time =12:46:03,end time=12:46:12 ,time use =

Sp( 202402080 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402080 /2 -2)*p(m) ≈ 1089017 , k(m)= 2.666667
Sp( 202402082 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402082 /2 -2)*p(m) ≈ 408381.4 , k(m)= 1
Sp( 202402084 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402084 /2 -2)*p(m) ≈ 409030.6 , k(m)= 1.00159
Sp( 202402086 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402086 /2 -2)*p(m) ≈ 816762.8 , k(m)= 2
Sp( 202402088 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402088 /2 -2)*p(m) ≈ 490057.7 , k(m)= 1.2
Sp( 202402090 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402090 /2 -2)*p(m) ≈ 605009.5 , k(m)= 1.481481
Sp( 202402092 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402092 /2 -2)*p(m) ≈ 817774.9 , k(m)= 2.002478
Sp( 202402094 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402094 /2 -2)*p(m) ≈ 408381.4 , k(m)= 1
Sp( 202402096 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402096 /2 -2)*p(m) ≈ 453322.9 , k(m)= 1.110048
Sp( 202402098 *) = 1/(1+ .1264 )*( 202402098 /2 -2)*p(m) ≈ 864807.7 , k(m)= 2.117647

若控制好修正系数μ值，那么我们可以轻易的得到偶数素对的下界计算值：
inf( 202402080 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402080 /2 -2)*p(m) ≈ 1081241.7 ；精度=0.99249；
inf( 202402082 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402082 /2 -2)*p(m) ≈ 405465.7 ；精度= 0.99363；
inf( 202402084 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402084 /2 -2)*p(m) ≈ 406110.3 ；精度= 0.99270；
inf( 202402086 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402086 /2 -2)*p(m) ≈ 810931.3 ；精度= 0.99169；
inf( 202402088 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402088 /2 -2)*p(m) ≈ 486558.8 ；精度= 0.99260；
inf( 202402090 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402090 /2 -2)*p(m) ≈ 600689.9 ；精度= 0.99172；
inf( 202402092 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402092 /2 -2)*p(m) ≈ 811936.2 ；精度= 0.99243；
inf( 202402094 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402094 /2 -2)*p(m) ≈ 405465.7 ；精度= 0.99206；
inf( 202402096 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402096 /2 -2)*p(m) ≈ 450086.3 ；精度= 0.99121；
inf( 202402098 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402098 /2 -2)*p(m) ≈ 858633.2 ；精度= 0.99261；
inf( 202402100 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402100 /2 -2)*p(m) ≈ 565435.3 ；精度=
inf( 202402102 ) = 1/(1+ .1345 )*( 202402102 /2 -2)*p(m) ≈ 522038.2 ；精度=

素对真值：
G(202402080) = 1089420
G(202402082) = 408066
G(202402084) = 409098
G(202402086) = 817726
G(202402088) = 490188
G(202402090) = 605704
G(202402092) = 818129
G(202402094) = 408710
G(202402096) = 454079
G(202402098) = 865029

愚工688

偶数素对计算的连乘式在大偶数区域的相对误差会偏离0位而逐渐趋于0.20附近，这是一个普遍规律。
比如30亿起的连续偶数的连乘式的计算值以及相对误差及统计数据数据：

D( 3000000000 )= 12224533   Sp(m)= 13974867.66478   δ(m)= .14318
D( 3000000002 )= 4584282     Sp(m)= 5240575.37779     δ(m)= .14316
D( 3000000004 )= 4783729     Sp(m)= 5468426.48481     δ(m)= .14313
D( 3000000006 )= 9403062     Sp(m)= 10750460.49075   δ(m)= .14329
D( 3000000008 )= 4662802     Sp(m)= 5329398.69993     δ(m)= .14296
D( 3000000010 )= 7336233     Sp(m)= 8384920.62682     δ(m)= .14295
D( 3000000012 )= 9403617     Sp(m)= 10749898.24668   δ(m)= .14317
D( 3000000014 )= 5284363     Sp(m)= 6041015.91614     δ(m)= .14319
D( 3000000016 )= 5000395     Sp(m)= 5716991.3479       δ(m)= .14331
D( 3000000018 )= 9167845     Sp(m)= 10481150.81147   δ(m)= .14325
D( 3000000020 )= 6112467     Sp(m)= 6987433.87897     δ(m)= .14314
D( 3000000022 )= 5035637     Sp(m)= 5757130.4069       δ(m)= .14328
D( 3000000024 )= 11170019   Sp(m)= 12771865.56492   δ(m)= .14341
D( 3000000026 )= 4626381     Sp(m)= 5278827.79504     δ(m)= .14103
D( 3000000028 )= 4583241     Sp(m)= 5240575.4232       δ(m)= .14342
D( 3000000030 )= 13037886   Sp(m)= 14906525.65816   δ(m)= .14332
D( 3000000032 )= 4803861     Sp(m)= 5490126.64115     δ(m)= .14286
D( 3000000034 )= 4718646     Sp(m)= 5392928.97056     δ(m)= .1429
D( 3000000036 )= 10552337   Sp(m)= 12061091.92657   δ(m)= .14298
D( 3000000038 )= 5503450     Sp(m)= 6288690.52881     δ(m)= .14268

相对误差统计计算：
3000000000 - 3000000038 :
    n= 20     μ= .14303     σx= .0005    δ(min)= .14103      δ(max)= .14342


而在更大偶数区域，相对误差均值 μ则进一步趋于0.20，例300亿的区域：

D( 30000000022 )= 37494662   Sp(m)= 43297963.19413   δ(m)= .15478
D( 30000000024 )= 74992752   Sp(m)= 86611199.04419   δ(m)= .15493
D( 30000000026 )= 37139861   Sp(m)= 42897056.13324   δ(m)= .15501
D( 30000000028 )= 40075940   Sp(m)= 46282800.79665   δ(m)= .15488
D( 30000000030 )= 152539838   Sp(m)= 176179495.820  δ(m)= .15497
D( 30000000032 )= 37135158   Sp(m)= 42897056.14182   δ(m)= .15516
D( 30000000034 )= 37139546   Sp(m)= 42897785.29073   δ(m)= .15504
D( 30000000036 )= 74303235   Sp(m)= 85811511.22274   δ(m)= .15488
D( 30000000038 )= 38433993   Sp(m)= 44393349.86227   δ(m)= .15505
D( 30000000040 )= 51677265   Sp(m)= 59683236.90088   δ(m)= .15492
30000000022 - 30000000040 :
    n= 10     μ= .15496     σx= .0001     δ(min)= .15478  δ(max)= .15516

cuikun-186

杨老师新年好，给您拜个晚年！