再论连乘积误差

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 18:27

再论连乘积误差
用筛分法求某个正整数以内个素数个数，求某个偶数的哥德巴赫猜想素数对数，不产生误差；
筛分法道理简单，但操作比较繁杂，于是人们想出各种方法，以便方便快捷地得到给定正整数以内的素数个数和给定偶数的素数对数。

连乘积法是最常用的计算素数个数和素数对数的方法，但因为给定数字一般不是数字平方根内所有素数的倍数，故用连乘积法不可避免地产生一定误差。
经多方探讨，在用连乘积计算式计算哥德巴赫猜想素数对时，计算误差有可能高达26.3%之多，故连乘积计算值不能直接当作给定偶数的哥猜素数对使用；也不便使用连乘积计算式证明哥猜。

连乘积计算式误差虽然没有简便的函数式表达出来，但它还是有一定的规律可循的，尤其是当偶数不是很大时，能够准确的求解出它的误差值。
本文只谈给定偶数哥德巴赫猜想素数对之连乘积误差，为叙述简便和确切，规定连乘积误差等于连乘积计算值减去实际值。

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 18:29

偶数都是2的倍数，用素数2进行筛分，不产生误差，奇数对数等于偶数N除以2。
偶数6n都是2和3的倍数，用素数2和3进行筛分，连乘积计算式为6n/2*2/3=2n，也没有误差；
偶数6n±2是2的倍数，但不是3的倍数，用素数2和3进行筛分，连乘积计算式值为(6n±2)/2*1/3=(6n±2)/6=n±1/3，有误差-2/3和2/3存在。

以下略去用素数2进行筛分的叙述，只谈奇素数。
偶数10n都是5的倍数，用素数5进行筛分，连乘积计算式为10n/2*4/5=4n，也没有误差；
偶数10n+2,+4,+6,+8不是5的倍数，用素数5进行筛分，连乘积计算式误差分别为-2/5,-4/5,4/5,2/5；
加上偶数10n和10n+10，误差是0,-2/5,-4/5,4/5,2/5,0；误差曲线是一条先降——猛升——再降的连续曲线。

偶数14n都是7的倍数，用素数7进行筛分，连乘积计算式为14n/2*6/7=6n，也没有误差；
偶数14n+2,+4,+6,+8,+10,+12不是7的倍数，用素数7进行筛分，连乘积计算式误差分别为-2/7,-4/7,-6/7,6/7,4/7,2/7；
加上偶数14n和14n+14，误差是0,-2/7,-4/7,-6/7,6/7,4/7,2/7,0；误差曲线也是一条先降——猛升——再降的连续曲线。

用单个奇素数对一段连续偶数进行筛分，误差是比较简单的。
那么用两个奇素数对一定连续偶数进行筛分呢？

用奇素数3和5，对偶数30n，30n+2至30n+30进行筛分，当偶数是30n或30n+30时，连乘积计算式也是没有误差的，
其余偶数都有误差，包括首尾的误差0在内的误差分别为
0 -0.8 0.4 1.2 -1.2 1.333 0.4 -1.6
1.6 -0.4 -1.3333 1.2 -1.2 -0.4 0.8 0
误差曲线是一条6降6升的波浪线，最大正负误差1.6出现在在30n+16和30n+14处，前后两段偶数的误差大小相等，符号相反。

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 18:33

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-2-5 18:37 编辑

用奇素数3和7，对偶数42n，42n+2至42n+42进行筛分，当偶数是42n或42n+42时，连乘积计算式也是没有误差的，
其余偶数都有误差，包括首尾的误差0在内的误差分别为
偶数 3 7 筛余误差
0 0.0000 0.0000 0 0.0000
2 0.3333 0.2381 1 -0.7619
4 0.6667 0.4762 0 0.4762
6 2.0000 1.4286 2 -0.5714
8 1.3333 0.9524 0 0.9524
10 1.6667 1.1905 1 0.1905
12 4.0000 2.8571 2 0.8571
14 2.3333 2.0000 2 0.0000
16 2.6667 1.9048 2 -0.0952
18 6.0000 4.2857 4 0.2857
20 3.3333 2.3810 2 0.3810
22 3.6667 2.6190 3 -0.3810
24 8.0000 5.7143 6 -0.2857
26 4.3333 3.0952 3 0.0952
28 4.6667 4.0000 4 0.0000
30 10.0000 7.1429 8 -0.8571
32 5.3333 3.8095 4 -0.1905
34 5.6667 4.0476 5 -0.9524
36 12.0000 8.5714 8 0.5714
38 6.3333 4.5238 5 -0.4762
40 6.6667 4.7619 4 0.7619
42 14.0000 12.0000 12 0.0000
误差分成3段，内有3个0误差偶数（偶数0的0误差不算），
误差曲线是一条两端误差大、中部小的波浪线，最大正负误差0.952出现在在42n+8和42n+34处，前后两段偶数的误差大小相等，符号相反。

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 18:38

用奇素数5和7，对偶数70n，70n+2至70n+70进行筛分，当偶数是70n或70n+70时，连乘积计算式也是没有误差的，
其余偶数都有误差，包括首尾的误差0在内的误差分别为
偶数 5 7 筛余误差
0 0.0000 0.0000 0 0.0000
2 0.6000 0.4286 1 -0.5714
4 1.2000 0.8571 2 -1.1429
6 1.8000 1.2857 1 0.2857
8 2.4000 1.7143 0 1.7143
10 4.0000 2.8571 2 0.8571
12 3.6000 2.5714 4 -1.4286
14 4.2000 3.6000 4 -0.4000
16 4.8000 3.4286 2 1.4286
18 5.4000 3.8571 3 0.8571
20 8.0000 5.7143 6 -0.2857
22 6.6000 4.7143 5 -0.2857
24 7.2000 5.1429 4 1.1429
26 7.8000 5.5714 5 0.5714
28 8.4000 7.2000 6 1.2000
30 12.0000 8.5714 8 0.5714
32 9.6000 6.8571 8 -1.1429
34 10.2000 7.2857 7 0.2857
36 10.8000 7.7143 8 -0.2857
38 11.4000 8.1429 7 1.1429
40 16.0000 11.4286 12 -0.5714
42 12.6000 10.8000 12 -1.2000
44 13.2000 9.4286 10 -0.5714
46 13.8000 9.8571 11 -1.1429
48 14.4000 10.2857 10 0.2857
50 20.0000 14.2857 14 0.2857
52 15.6000 11.1429 12 -0.8571
54 16.2000 11.5714 13 -1.4286
56 16.8000 14.4000 14 0.4000
58 17.4000 12.4286 11 1.4286
60 24.0000 17.1429 18 -0.8571
62 18.6000 13.2857 15 -1.7143
64 19.2000 13.7143 14 -0.2857
66 19.8000 14.1429 13 1.1429
68 20.4000 14.5714 14 0.5714
70 28.0000 24.0000 24 0.0000
误差曲线是一条两端误差大、中部稍小的波浪线，中部没有0误差点，最大正负误差1.714出现在在70n+8和70n+62处，前后两段偶数的误差大小相等，符号相反。

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 18:50

我们一般不研究用单个素数或几个不连续素数筛分的误差，只研究用连续素数2,3,5；2,3,5,7；2,3,5,7,11；……时的连乘积误差。

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 19:28

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-2-5 19:30 编辑

用连续素数2,3,5对偶数30k至30k+30进行筛分即
在与30互素的互素数系统中，偶数N=30k的互素数对数等于N/2*2/3*4/5=N*8/30，不存在误差；
偶数N=30k+2存在负误差-0.8,偶数N=30k+28存在正误差0.8；
偶数N=30k+4存在正误差0.4,偶数N=30k+26存在负误差-0.4；
偶数N=30k+6存在正误差1.2,偶数N=30k+24存在负误差-1.2；
偶数N=30k+8存在负误差-1.2,偶数N=30k+22存在正误差1.2；
偶数N=30k+10存在正误差1.333,偶数N=30k+20存在负误差-1.333；
偶数N=30k+12存在正误差0.4,偶数N=30k+18存在负误差-0.4；
偶数N=30k+14存在最大负误差-1.6,偶数N=30k+16存在最大正误差-1.6；
误差中1个0，两对±0.4，一对±0.8，两对±1.2，一对±1.333，一对±1.6。
模30余误差模30余误差
0 0.000 30 0.000
2 -0.800 28 0.800
4 0.400 26 -0.400
6 1.200 24 -1.200
8 -1.200 22 1.200
10 1.333 20 -1.333
12 0.400 18 -0.400
14 -1.600 16 1.600

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 19:33

在与30互素的互素数系统中，最大正负误差出现在偶数N=30k+16和30k+14处；
16+14=30，16-15=15-14=1；16模3余1，模5余1；14模3余2，模5余4。
在与210互素的互素数系统中，最大正负误差出现在偶数N=210k+156和210k+54处；
156+54=210，156-105=105-54=51；156模3余0，模5余1，模7余2；54模3余0，模5余4，模7余5。
退一级，156对应于与30互素数系统中的6，54对应于与30互素数系统中的24，正负误差为±1.2，不是最大正负误差偶数；
反之，由与30互素数系统中的16升一级至46,76,106,136,166,196，误差分别为（见下表）；
由与30互素数系统中的14升一级至44,74,104,134,164,194，误差分别为（见下表）；
也都不是最大正负误差的偶数：
模210余误差模210余误差
16 1.143 14 -0.800
46 0.286 44 -0.857
76 -0.571 74 -1.714
106 0.571 104 -0.571
136 1.714 134 0.571
166 0.857 164 -0.286
196 0.800 194 -1.143
及
模210余误差模210余误差
6 0.857 24 -0.571
36 1.143 54 -2.286
66 1.429 84 -1.600
96 1.714 114 -1.714
126 1.600 144 -1.429
156 2.286 174 -1.143
186 0.571 204 -0.857
与30互素的互素数系统中偶数30k+16和30k+14分别具有中的正负误差1.6；
与210互素的互素数系统中偶数210k+156和210k+54分别具有中的正负误差2.285714；
两级的最大正负误差1.6和2.285714没有对应的函数关系；偶数16和156,14和54也没有之间合数关系！

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 19:35

在与30互素数系统，误差中1对0（首尾两偶数都算数），2对±0.4，2对±0.8，2对±1.2，1对±1.333，1对±1.6。
在与210互素数系统，误差中2对0（0,70,140,210），1对±2/21(190,20)，1对±4/21(170,40)，
8对±2/7（4,206;46,164;88,122;116,94;158,52;172,38;180,30;1928,12），1对±8/21（130,80），
2对±2/5（28,182;98,112），1对±10/21（110,100），10对±4/7（8,202;18,192;22,188;92,112;106,104;134,76;148,62;150,60;176,34;186,24），
1对±16/7（50,160），3对±4/5（56,154;166,44;196,14），7对±6/7（6,204;26,184;68,142;120,90;152,58;166,44;208,2），
1对±20/21（10,200），9对±8/7（16,194;36,174;66,144;78,132;86,124;108,102;128,82;146,54;162,38），1对±8/5（126,84），
4对±12/7（96,114;136,80;138,72,178,32），1对最大正负误差±16/7（156,54）。
情况非常复杂，无规律可循。

出现了0.4，0.8，1.6；没有出现1.2和1.333。
出现了2/7,4/7,6/7,12/7,16/7；没有出现1/7,3/7,5/7,7/7等；
出现了2/21,4/21,8/21,10/21,16/21,20/21；加上2/7=6/21,4/7=12/21,6/7=18/21,只是没有14/21=0.667。

模210余误差模210余误差
0 0.000 210 0.000
70 0.000 140 0.000
190 0.095 20 -0.095
170 0.190 40 -0.190
4 0.286 206 -0.286
46 0.286 164 -0.286
88 0.286 122 -0.286
116 0.286 94 -0.286
158 0.286 52 -0.286
172 0.286 38 -0.286
180 0.286 30 -0.286
198 0.286 12 -0.286
130 0.381 80 -0.381
28 0.400 182 -0.400
98 0.400 112 -0.400
110 0.476 100 -0.476
8 0.571 202 -0.571
18 0.571 192 -0.571
22 0.571 188 -0.571
92 0.571 118 -0.571
106 0.571 104 -0.571
134 0.571 76 -0.571
148 0.571 62 -0.571
150 0.571 60 -0.571
176 0.571 34 -0.571
186 0.571 24 -0.571
50 0.762 160 -0.762
56 0.800 154 -0.800
168 0.800 42 -0.800
196 0.800 14 -0.800
6 0.857 204 -0.857
26 0.857 184 -0.857
68 0.857 142 -0.857
120 0.857 90 -0.857
152 0.857 58 -0.857
166 0.857 44 -0.857
208 0.857 2 -0.857
10 0.952 200 -0.952
16 1.143 194 -1.143
36 1.143 174 -1.143
66 1.429 144 -1.429
78 1.143 132 -1.143
86 1.143 124 -1.143
108 1.429 102 -1.429
128 1.143 82 -1.143
146 1.429 64 -1.429
162 1.143 48 -1.143
126 1.600 84 -1.600
96 1.714 114 -1.714
136 1.714 74 -1.714
138 1.714 72 -1.714
178 1.714 32 -1.714
156 2.286 54 -2.286

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 19:37

已经知道在210互素数系统中，偶数156具有最大正误差2.285717，偶数54具有最大负误差-2.285714（即最小误差-2.285714）；
然而它们并不是哥德巴赫猜想素数对是误差；
在求其最大误差中它们的互素数对数已经求得：54——10，156——20。
任何求得这些偶数的哥德巴赫猜想素数对的误差呢？

对于偶数54，平方根内最大素数是7，筛至素数时已经筛到底，只是还需进行两方面的校正：
1、看一看54-1=53是不是素数，53是素数，1+53,53+1倍保留在它的互素数对数中，需减2；
2、看一看54-3=51,54-5=49,54-7=437是不是素数，经检查54-7=47是素数，亦即7+47和47+7被筛掉，需加2；
做了这两方面校正以后可得54的哥德巴赫猜想素数对（双计）是10-2+2=10，
再校核一下知计算正确！（单计哥猜数是5，54/2=27不是素数，5*2=10）
n(is a even number)=54
1,n= 7 + 47
2,n= 11 + 43
3,n= 13 + 41
4,n= 17 + 37
5,n= 23 + 31
That is all!!!
用连乘积计算公式R2=N/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)求哥德巴赫猜想素数对也有误差，
连乘积素数对误差只需在互素数对数误差上进行上述两方面的校正即可。
对于偶数54，筛分至素数7，互素数对数是10，误差是-2.285714，减2加2后的哥猜素数对数还是10，连乘积计算式误差还是-2.285714。

对于偶数156，平方根内最大素数是11，筛至素数7时没有筛到底，还需用素数11再筛一次：
偶数156筛分至素数7时筛余20互素数对，其中的13+143,143+13不是素数对，
再筛除之，即得筛分至素数11时筛余互素数对数是18，此后再进行两次校正即可。
1、看一看156-1=155是不是素数，155不是素数，不减2；
2、看一看156-3=153,156-5=151,156-7=149,156-11=145是不是素数，经检查149和151都是素数，需加2*2=4；
在做了这两方面校正以后可得54的哥德巴赫猜想素数对（双计）是18-0+4=22，
再校核一下知计算正确！（单计哥猜数是11，156/2=78不是素数，11*2=22）
n(is a even number)=156
1,n= 5 + 151
2,n= 7 + 149
3,n= 17 + 139
4,n= 19 + 137
5,n= 29 + 127
6,n= 43 + 113
7,n= 47 + 109
8,n= 53 + 103
9,n= 59 + 97
10,n= 67 + 89
11,n= 73 + 83
That is all!!!

对于偶数156，筛分至素数7，互素数对数是20，误差是2.285714，减0加4后的哥猜素数对数还是22，连乘积计算式误差应改在筛分至素数11的互素数对数误差基础上重新计算。
对于偶数156，连乘积计算式156/2*[1/3*3/5*5/7*9/11]*[(3-1)/(3-2)]=18.233766，校正时减0加4等于22.233766，最终误差是0.233766，不再是2.285714了。

虽然从理论角度，用互素数对数方法证哥猜是可行的，亦即用连乘积方法证哥猜是可行的，但涉及到的误差不好确定，
换句话说是“误差皆不可估”，此路难以走通！

yangchuanju · 发表于 2024-2-5 19:40

2-210误差分析
偶数2-210用素数2,3,5和7双筛分后，最大正负误差是±2.285714=±16/7，分别出现在156和54处：
偶数 210误差偶数 210误差
0 0.0000 210 0.0000
2 -0.8571 208 0.8571
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