\(\large\textbf{数学归纳法原理}\)

elim

Peano 自然数第五公理：若集合S含0并且含每个成员的后继，则S含全体自然数.

数学归纳法原理：若命题 p(n) 对 n=0 真，且 p\((n)\implies p(n+1)), 则对一切自然数\(n,\) p(n) 真。
证明：令 \(\small S = \{n\in\mathbb{N}: p(n)\text{真}\}\). 则 \(\small (0\in S)\wedge(n\in S\implies n+1\in S)\),
\(\quad\)据皮亚诺公理,\(S=\mathbb{N}.\)。

例 \(1^3+2^3+\cdots+n^3 = (1+2+\cdots+n)^2\)
证：令\(s{\small(n) = 0^3+\cdots+n^3},\;\sigma{\small(n)=0+\cdots+n}\), 则\(\small s(0)=\sigma(0)\).
\(\quad\small\sigma^2(n+1)-\sigma^2(n)=2(n+1)\sigma(n)+(n+1)^2=(n+1)(2\sigma(n)+n+1)\)
\(\quad\small=(n+1)(n(n+1)+n+1)=(n+1)^3\)
\(\therefore\small s(n)=\sigma^2(n)\implies s(n+1)=s(n)+(n+1)^3=\sigma^2(n)+(n+1)^3=\sigma^2(n+1)\).
\(\quad\)据归纳法原理,\(\small 1^3+\dots+n^3=(1+\cdots+n)^2\) 对一切正整数成立.

注记：\(\displaystyle\small 2\sigma(n)=\sum_{k=0}^n k+\sum_{k=0}^n(n-k)=\sum_{k=0}^n n=(n+1)n\)

jzkyllcjl 否定\(\mathbb{N}\) 的既存性，认为自然数集是不断增长中的有限集，永远有大量自然数尚待被造，所以否定数学归纳法. 他实际上否定任何无穷论域的既存性，所以他没有无穷论域上的定理。他认定形式逻辑导致悖论，所以他否定逻辑推理. 这就解释了他不认为数学有绝对的真理性，主张实践-纠错的无限反复。不难了解，这种观念必然导致 jzkyllcjl 的数学没有推理没有定理。只有一堆经验结果。例如 1除以3的有限实践结果是 0.3,0.33,0.333,..... 等等。jzkyllcjl 意识到他的东西的苍白，所以他称标准分析的结果具有理想性，而称他的东西是具有与理想相对立的现实性。再用'辩证法"把两者调和在一起，由他随意胡扯。且不谈 jzkyllcjl 主张的错误，他70年来没搞定 0.333... 的事实，以及对数学只有虚无消极的影响这点，使从事数学的人感到恶心.  却对相当多的非专业网友具有代表性，从本贴可见，朴素的门外汉感情，八股党卫队的操守归跟结底站不住脚，对数学毫无建树。

可以这么说，数学的任何深刻分歧的根源都是对自然数的认知的分歧。

elim

jzkyllcjl 反对关于无穷论域的全称判断的另一个理由是这违反了有限操作原则．也就是写不到底，算不到底，无穷次判断等等．数学归纳法很好地说明了自然数上的全称判断是如何通过变量，全称量词，依据无穷公理，皮亚诺公理，有限步代数演算得到的．
论到无穷公理的非实践性，我必须说，无穷公理的确没有党八股意义上的实践性，它是对除一小撮另类外的人类共识的追认．宇宙学的研究对象是非人所造的宇宙，自然数自然而然这很奇怪吗？

顺便说一下，自然数也不是皮亚诺造的，但他用公理刻划了自然数的本质．