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发表于 2024-1-18 04:29
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春风先生连\(0.a_1a_2a_3\ldots=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n}\) 也否定. 理由居然是他不需要
这个等式便可以证明\(0.\dot 9 =1\). 其实对不承认无尽小数是数的人来说.
他的证法无效。所以 \(0.a_1a_2a_3\ldots\)是什么的问题是绕不过去的。
从\(\sin(\frac{\pi}{4})\small = 0.7071067811865\ldots\)知道, 无尽小数是 \(0.a_1a_2a_3\ldots\)是用
十进制方式表示的实数\(\alpha\in(0,1]\). 其中\(\{a_n\}\)由\({\small 0< \alpha-0. a_1\ldots a_k\le }\frac{1}{10^k}\)
\(\small( a_k\in\{i\in\mathbb{N}^+,i<10\},\;k=1,2,\ldots)\) 确定. 由此即得\(\small\displaystyle\lim_{m\to\infty}\big|\alpha-\sum_{n=1}^m\frac{a_n}{10^n}\big|=0.\;\therefore\;\;0.a_1a_2a_3\ldots=\alpha=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}\)
祖暅那会儿没有积分,球体积就不可以用积分定义了? |
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