判断矩阵可逆的十几种方法，你知道多少？

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判断矩阵可逆的十几种方法，你知道多少？

原创 Asher 爱数学之家 2023-12-19 08:56 发表于广东

判断矩阵可逆的几种方法：

1. 行列式不为零：一个 n 阶方阵 A 是可逆的，当且仅当它的行列式 det(A) 不等于零。

2. 满秩：如果一个 n 阶方阵 A 的秩 rank(A) 等于 n ，则 A 是可逆的。这意味着矩阵的所有行（或列）都是线性无关的。

3. 逆矩阵存在：如果一个 n 阶方阵 A 存在一个 n 阶矩阵 B ，使得 AB = BA = I（单位矩阵），则 A 是可逆的，并称 B 为 A 的逆矩阵（记作 A^-1）。

4. 列向量组线性无关：如果一个矩阵 A 的列向量组线性无关，即 Ax=0 只有零解 x=0 ，则 A 是可逆的。

5. 零空间为空：如果一个矩阵 A 的零空间只包含零向量，即只有 Ax=0 时 x=0 ，则 A 是可逆的。

6. 可逆的初等行变换：如果一个矩阵可以通过一系列可逆的初等行变换变为单位矩阵 I ，则该矩阵是可逆的。

7. 列满秩：如果一个矩阵的所有列都是线性无关的，即矩阵的列空间是整个向量空间，则该矩阵是可逆的。

8. 有唯一解：如果一个方程组 Ax=b 对于任意的 b 都有唯一解 x ，则矩阵 A 是可逆的。

9. 非奇异矩阵：非奇异矩阵是指行列式不为零的方阵，因此非奇异矩阵是可逆的。

10. 正交矩阵：如果一个方阵 A 满足 A^T * A = I（其中 A^T 是 A 的转置），则 A 是可逆的，并且它的逆矩阵就是 A 的转置。

11. 特征值：用特征值来判断矩阵是否可逆是一种常见的方法。具体地说，一个 n 阶方阵 A 是可逆的，当且仅当它的所有特征值都不等于零。

如果一个矩阵 A 的特征值全都不等于零，则存在一个可逆矩阵 P ，使得对角线上的元素为 A 的特征值，即 P^-1 * A * P = D ，其中 D 是一个对角矩阵。由于 P 是可逆的，所以 P^-1 存在，从而得到了 A 的逆矩阵：A^-1 = P * D^-1 * P^-1 。



上图中的矩阵 A 的特征值非 0 ，所以 A 是可逆的。

矩阵求逆的方法：

1. 初等行变换：通过一系列初等行变换将原始矩阵转化为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的操作，得到的结果就是原始矩阵的逆矩阵。初等行变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数。

2. 列主元素法（高斯-约当消元法）：通过将原始矩阵与单位矩阵横向拼接，利用高斯消元法将原始矩阵化为上三角形矩阵，然后再应用约当消元法将上三角形矩阵化为单位矩阵。此时，单位矩阵的右侧部分就是原始矩阵的逆矩阵。

3. 克拉默法则：对于 n 阶方阵 A ，如果它的行列式 det(A) 不等于零，那么可以使用克拉默法则求解 Ax=b 中的未知量 x 。逆矩阵A^-1 = (1/det(A)) * adj(A) ，其中 adj(A) 表示 A 的伴随矩阵。这种方法适用于求解较小规模的矩阵逆。

4. LU 分解：将原始矩阵 A 分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A=LU 。然后，可以使用 LU 分解的性质来求解 Ax=b 形式的线性方程组。在求解过程中，可以用 L 和 U 的逆矩阵代替它们本身，从而得到 A 的逆矩阵。

5. QR 分解：将原始矩阵 A 分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的乘积，即 A=QR 。类似于 LU 分解，可以使用 QR 分解的性质来求解 Ax=b 形式的线性方程组，并利用 Q 和 R 的逆矩阵作为代替得到 A 的逆矩阵。

6. 特征值分解：将原始矩阵 A 分解为特征向量构成的矩阵P和对角矩阵 D 的乘积，即 A=PDP^-1 。如果 A 是非奇异矩阵（行列式不为零），则可以使用特征值分解来求解 Ax=b 形式的线性方程组，其中 P^-1 可以代替 P 来得到 A 的逆矩阵。

7. SVD 分解：奇异值分解（Singular Value Decomposition）将原始矩阵 A 分解为三个矩阵 U 、Σ 和 V 的乘积，即 A=UΣV^T 。在 SVD 分解中，U 和 V 是正交矩阵，Σ 是一个对角矩阵。通过逆转 Σ 的对角元素，并利用 U 和 V 的逆矩阵代替它们本身，可以得到 A 的逆矩阵。

除了这些方法，还有其他一些针对特殊类型矩阵的求逆算法，如对称正定矩阵的 Cholesky 分解法、三对角矩阵的追赶法等。这些方法根据具体情况和需要选择使用。