谁来解释一下这张图片？

ccmmjj

很久没发帖了，主要是找不到有特色的东西。前几天看到两张图片，一张是说集合的，很是笑了一阵。

另一张是讲虚数单位的运算的，其中很丑陋的那张脸对应的运算，谁能解释一下？

cgl_74

看了下评论，把说法改为更严谨一点：个人认为只是形式化完备性；当前很难说有啥物理含义。
为啥这样说？因为从实数扩展到复数，对应从一维升级到二维。运算上有的是有物理含义对应，有的没有。像这个式子的含义是啥？我不知道，我也不会不懂装懂，我自己也思考过。有会的告诉我，我学习学习。

Ysu2008

复幂函数 \(i^i=e^{i\log i}\)
复对数 \(\log i=\log\left| i\right|+i\left( \arg i+2k\pi\right)\ {,}\ k=0{,}\pm1{,}\pm2...\)
取 \(k=0\)，\(\log i=\log\left| i\right|+i\arg i=i\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore i^i=e^{i\cdot i\frac{\pi}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}\approx0.20787957635076193\)

cgl_74

我详细说一下，i^i是无意义的！说它值=0.2xxx也是错误的。
供讨论学习！

Ysu2008

cgl_74 发表于 2023-12-22 18:34
我详细说一下，i^i是无意义的！说它值=0.2xxx也是错误的。
供讨论学习！

你这是手写还是字体设置成这样？字儿挺漂亮的。

复幂函数，复对数函数都有定义的。
设 \(x=i^i\)
两边取自然对数 \(\log x=\log i^i=i\log i\)
复对数\(\log i\)取主值为\(i\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\log x=i\cdot i\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}\)
两边再取自然对数的反对数 \(\exp\left( \log x\right)=\exp\left( -\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow x=\exp\left( -\frac{\pi}{2}\right)\)