Collatz 猜想——悬而未决的数学问题

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Collatz 猜想——悬而未决的数学问题

原创 围城里的猫 MathSpark 2023-11-18 08:01 发表于北京

数学中有一些十分易于陈述的问题，比方说 Collatz 猜想，如果你喜欢也可以叫做也称为 3n+1 猜想或 Ulam 猜想，它的表述如下：

从任何正整数 n 开始。

1. 如果 n 为偶数，则除以 2 。

2. 如果 n 为奇数，则将其乘以 3 并加 1 。

对结果数字重复步骤 2 和 3 ，并继续此过程，直到数字达到 1 。举个例子比方说从数字 6 开始，因为 6 是偶数，所以执行步骤 1 除以 2 ，我们得到 3 ，3 是奇数，执行步骤 2 ，我们将其乘以 3 加上 1 ，得到 10 ，10 是偶数再次执行步骤 1 ：除以 2 得到 5 ，5 是奇数执行步骤 2 ，乘以 3 加上 1 得到 16 ，16 是偶数，执行步骤 1 ，除以 2 得到 8 ，8 是偶数执行步骤 1 ，除以 2 得到 4 ，4 是偶数执行步骤 1 除以 2 ，得到 2 ，2 是偶数执行步骤 1 ，除以 2 得到 1 ，所以经历了有限步骤之后我们最终得到了 1 。

如果你不信，换个数字再试一试，你同样可以最终得到 1 。你是不是也想证明这个问题，但是很遗憾这是数学中著名的未解决的问题之一。尽管它只是涉及一个简单的数学函数，易于陈述和理解，但这个问题已经已经困扰了数学家 80 多年。没有人能够证明这个猜想对所有正整数都成立。虽然已知的很多例子支持这个猜想，但也有一些例子显示，由科拉兹函数生成的序列似乎会无限进行下去而永远不会达到 1 。谁也不知道？



那么，为什么这个问题很重要呢？首先，它是数论中的一个基本问题，它与其他一些大名鼎鼎的猜想也有一些意想不到的联系，比方说黎曼猜想或是歌德巴赫猜想。其次，科拉兹猜想在计算机科学中也具有重要的应用。它被用来测试计算机算法，并且帮助识别计算机硬件中的问题。

这么多年来科拉兹猜想的未解之谜一直吸引着数学家和计算机科学家，虽然这个问题仍然悬而未决，但利用计算机我们已经验证了这个猜想对 2^68 次方以下的数字都是成立的，这也已经导致了许多有趣的数学成果，并激发了解决其他重要数学问题的新方法。

多年来，数学家们在尝试解决科拉茨猜想时使用了各种技术和策略。其中一些策略包括数论、计算机模拟和图论。最流行的方法之一是使用计算机模拟来研究大数的 Collatz 序列。通过研究序列的性质，数学家已经能够做出猜想并找到可能有助于证明猜想的模式。另一种方法是使用图论来研究 Collatz 序列的结构。通过将序列表示为有向图，数学家已经能够利用图的性质并识别可能有助于证明猜想的模式。

在这条漫漫征途中，有几个重要的里程碑，在 1970 年代，一位名叫约翰·康威的数学家发现了一组规则，可用于生成最终总是达到 1 的新数字。虽然这并不能证明这个猜想，但它为这个问题提供了新的见解，并有助于促进进一步的研究。

而在 1980 年代和 1990 年代，一位名叫杰弗里·拉加里亚斯的数学家对科拉茨猜想的研究做出了重大贡献。他是第一个使用计算机模拟来研究大数的 Collatz 序列的人，他根据他的发现提出了几个重要的猜想。他还帮助开发了可用于研究该问题的新数学技术。

而最近一次的突破要追溯到 2019 年，菲尔兹奖得主、世界领先的数学家之一 Terence Tao（陶哲轩）在理解这个问题方面给出了几个重要的猜想，并提供了新的技术用于看待 Collatz 猜想，尽管没有完全解决，但确实是迈出了坚实的步伐。

尽管在理解科拉茨猜想方面取得了进展，但问题仍未解决。解决问题的主要挑战之一是很难找到适用于所有数字的单一策略或方法。我觉得这主要是因为 Collatz 序列有许多不为人知的的地方。

显然，科拉茨猜想在数学中发挥了重要作用。它引起了我们这个时代一些最杰出的数学家的注意，并成为许多研究论文和会议的主题。这个问题也导致了数学新技术和新工具的发展，所以数学家们才会花这么大的精力来研究，除此之外它在教育中也发挥了重要作用。该问题通常被用作教授学生数学推理、解决问题和批判性思维的例子。也可以呈现给不同数学能力水平的学生。

最后希望在有生之年能够看到这个问题的证明，祝大家阅读愉快。

任在深

这道题很简单！
         只要从结构数学出发，就可以轻易得到解决！

被遗弃的草根

我证明了这个难题，目前，该论文正在数学杂志上接受审核，如果能勉强同意，就会满足作者在有生之年能够看到这个难题的证明。