B点在坐标原点，圆半径为\(2\sqrt{2}\)，C 是南极点，E 是.....。求三角形DEF的面积

天山草

B 点在坐标系原点，圆半径为 \(2\sqrt{2}\)，C 是南极点，E 是 BC 中点。D 点坐标如图。
F 点在实轴上，如果 CA 弧长等于 GG' 弧长，求三角形 DEF 的面积。

天山草

此题可用复斜率解析几何做，很简单。
答案是 8.0820177829901484072083229106793268984084477052172.....
不知道有没有别的方法？ 坐等纯几何方法。

ccmmjj

纯计算题，谁也比不过电脑啊。

天山草

下面是 F 点横坐标的公式解，以及三角形 DEF 面积的公式解：



问： 能手工算出上面两个公式吗？如果手工计算太麻烦，用电脑算也行。我想看看你用电脑是咋算的。

王守恩

  B 点在坐标系原点,  圆半径为\(2\sqrt{2}\) ,  C 是南极点,  D 点坐标如图。
  F 点在实轴上, 如果 AC 弧长等于 GG' 弧长,  求三角形 DEF 的面积。
   设∠BFD=∠BFE=a, ∠ABC=∠GBG'=2b,

1. Solve[{2 s == BE*BF + 2 (BE + BF), BE/BF == 2/(2 + BF) == Tan[a],
   
2. BE/Sin[Pi/8 - b]==2Sqrt[2]/Sin[Pi/8 + b], BF/Sin[a + b]==2Sqrt[2]/Sin[a],
   
3. 1 > a > 0, 1 > b > 0}, {a, b, BE, BF, s}] // FullSimplify

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{a -> 2 ArcTan[1/7 (2 + 3 Sqrt[2] - Sqrt[29 - 2 Sqrt[2]])]=0.31921148636697161991,
  b -> 2 ArcTan[4 + 2 Sqrt[2] - Sqrt[23 + 16 Sqrt[2]]]=0.14697519066350506979,
  BE -> -2 + 4 Sqrt[2] - 2 Sqrt[7 - 4 Sqrt[2]]=1.3389709474190253341,
  BF -> 2/7 (-1 + 2 Sqrt[2] + Sqrt[79 + 52 Sqrt[2]])=4.0511712524314631841,
  s -> 4/7 (-1 + 2 Sqrt[2] + Sqrt[79 + 52 Sqrt[2]])}=8.1023425048629263682}

天山草

由下图实测，当 BF=3.90591 时才有 GG'=CA=0.77371，而 BF'=4.05117 时， GG'=0.85302，大于 CA。所以楼上王兄算的有问题。

天山草

原题没有错。解法如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; c = -2 Sqrt[2] I; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 2 Sqrt[2] I;  d = -2 + 2 I;
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = -2 - 2 I; e = -Sqrt[2] I; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Sqrt[2] I; R = 2 Sqrt[2];
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = f;
   
5. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
6. W1 = {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)) == R^2, k[e, f] == k[e, g]}, {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
7. g = Part[W1, 3]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Part[W1, 4];
   
8. W2 = {g1, \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - g1) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)) == R^2, k[d, f] == k[d, g1]}, {g1, \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
9. g1 = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];
   
10. W3 = {a, \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == R^2, k[d, e] == k[d, a]}, {a, \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
11. a = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = Part[W3, 2];
    
12. W = {f} /. Simplify@Solve[{(c - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (g - g1) (\!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)), k[b, f] == 1}, {f}] // Flatten;
    
13. f = Part[W, 2];f = f // ComplexExpand // FullSimplify; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = f;
    
14. Print["F = ", f, " \[TildeTilde] ", N[f]];
    
15. S[a_, b_, c_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (c - a) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (a - b))/(4 I);(*已知三角形各顶点坐标，求其有向面积，ABC逆时针向环绕*)
    
16. SS = FullSimplify@S[d, e, f];
    
17. Print["\[EmptyUpTriangle]DEF 的面积 = ", SS, " \[TildeTilde] ", N[SS, 50]];

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运行结果：

天山草

有人还推出了，F 点的横坐标是下面方程的正根：

王守恩

  这题目有点纠结，要不丢了(好题多了去)，要不再改一改，譬如下面是可以有解的。
  B 点在坐标系原点,  圆半径为\(2\sqrt{2}\) ,  C 是南极点,  E 是 BC 中点。
  D 点坐标如图。如果 AC 弧长等于 GG' 弧长,  求三角形 DEF 的面积。