服！这姑娘用一周时间，解开了几十年无人能解的数学难题

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服！这姑娘用一周时间，解开了几十年无人能解的数学难题

作者：Ian MacLellan

翻译：红猪

编辑：游识猷

编译来源：Quanta Magazine

2018 年夏天，在一场低维拓扑学和几何学的研讨会上，丽莎·皮奇里洛（Lisa Piccirillo）听人说起了一个精巧的数学“小”问题。


丽莎·皮奇里洛对康威结问题的解答，使她获得了麻省理工学院的教职。| Quanta Magazine

当时皮奇里洛还在德州大学奥斯丁分校念研究生，正在自己开发一些数学技巧，她感觉这个问题很适合用来测试那些技巧。

“我没有浪费白天的时间研究这个问题。”她说，“因为在我看来那算不上真正的数学。我只把它当作给自己的家庭作业。”

那个小问题是：五十多年前由传奇数学家约翰·霍顿·康威（John Horton Conway）发现的康威结（Conway knot），是否是某个高维纽结的一个切片？


数学里研究的“扭结”，是研究绳圈在连续变形下有哪些特性保持不变。扭结是拓扑学的重要分支，对物理学、生物学研究也都很重要。  |  维基百科

当纽结理论家在探究高维空间中的纽结（knot）时，“切片性”（sliceness）是他们最先想要知道的性质之一。

在这之前，数学家们已经弄清了数千个含有 12 个或不到 12 个交叉（crossings）的纽结的切片性。但有一个还没明白，那就是含有 11 个交叉的康威结。过去几十年里，这种纽结一直在嘲笑想征服它的数学家。

皮奇里洛回家之后，不到一周就得出了答案：康威结并不是一个“切片”。几天后，她和德州大学奥斯丁分校的教授卡梅伦·戈登（Cameron Gordon）会面，随口提到了这个发现。

戈登当时就惊呼：“你说什么？？你现在就该送去给年刊！”所谓“年刊”是指《数学年刊》（Annals of Mathematics），数学界的一份顶尖期刊。

皮奇里洛回忆道：“他当时嚷嚷起来，说‘你怎么还这么淡定？’我看他有点激动坏了。”

“她那时应该不知道这是一个多老多著名的问题。”戈登说。

2020 年 2 月，皮奇里洛的证明果然登上了《数学年刊》。凭借这篇论文和其他研究，她得到了麻省理工学院的教职，距她完成博士学习仅 14 个月。


皮奇里洛的证明发表在 2020 年 2 月的《数学年刊》上，论文标题简洁明了，《康威结不是平滑切片》|  jstor.org

康威结的切片性问题之所以著名，不仅是因为它在很长的时间内始终悬而未决。切片纽结（slice knots）让数学家有机会去探究四维空间的奇异性质，在那里二维球面可以被打结，有一些打得非常褶皱，根本无法展平。印第安纳大学的荣休教授查尔斯·利文斯顿（Charles Livingston）表示，切片性“关联着目前四维拓扑学中最深刻的几个问题。”

皮奇里洛的本科是在波士顿学院念的，当时指导她毕业论文的约书亚·格林（Joshua Greene）表示：“康威结是否为切片的问题相当于一块试金石，纽结理论领域的许多现代发展都要靠它来验证。看见老熟人拔出了石中剑，真是令人开心的一件事。”


对扭结的研究，也推动了对 DNA 这种双螺旋分子结构的研究。DNA 的扭曲、绞拧、打结、圈环、方向等等都会影响到 DNA 的复制、转录、重组，进而影响生命活动。|  Sumners, D. 1995. Lifting the curtain: Using topology to probe the hidden action of enzymes

四维空间里，打结的球体  

在日常生活里，纽结往往是一根有两个端点的绳子打出的结。但是在数学家的定义中，这两个端点却连接在一起，因此一个纽结是无法解开的。

在过去一百年中，这些打结的绳圈启发了许多领域的研究，从量子物理学到 DNA 的结构，再到三维空间的拓扑结构。

一个很自然的问题是，在四维空间里是否也有相应的纽结理论？我们并不能简单地将所有三维空间中的纽结都放到四维空间里：有了四个可以活动的维度，任何一个打了结的一维绳圈都变得可以解开，只要把绳子在第四个维度里移动一番就行了。

要在四维空间里构造打结的物体，你不能用一维绳圈，而是得用二维的球面。三维空间允许一维的绳圈打结，但不足以解开绳结。四维空间则允许二维的球面打结。在 1920 年代，数学家第一次用球面构造出了这样的纽结。

普通人很难想象四维空间中一个打结的球面，作为铺垫，我们可以先想象三维空间中的一个普通球面。如果将这个普通球面切开，你会看到一个不带纽结的绳圈。

但如果是在四维空间中切开一个打结的球面，你或许就会看到一个打结的绳圈了（也可能是一个不打结的绳圈、或者由几个连成一串的绳圈，这取决于你从哪里切开）。

切开一个打结球面后出现的任何纽结，都被称作一个“切片”（slice）。

这种切片纽结，使得纽结理论的三维和四维部分之间有了一座桥梁。

也有的纽结不是切片，比如含有三个交叉的“三叶结”（trefoil）。


因为形似三叶草而得名的三叶结，虽然看上去很简单，但这个结却不能经由切割四维空间的球面结而得到。| 维基百科

但四维空间还有其丰富而奇异的部分：在四维拓扑学中，关于什么是“切片”有两种不同的解释。经过 1980 年代初的一系列革命性发展——数学家迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）和西蒙·唐纳森（Simon Donaldson）因此双双获得了菲尔兹奖——数学家发现，四维空间不仅包含我们想象的那种平滑球面，它还包含了一些褶皱很深、绝不可能变得平滑的球面。到底哪些纽结是切片，取决于你是否将那些褶皱球面也考虑在内。

“那些都是非常非常奇怪的物体，就像是由魔法产生的。”莱斯大学的谢莉·哈维（Shelly Harvey）说道。（正是哈维在 2018 年的演讲使皮奇里洛首次接触了康威结问题。）

那些奇怪的球面不是四维拓扑学中的缺陷，而是它的一个特征。有些纽结是“拓扑切片”（topologically slice），但不是“平滑切片”（smooth slice），意思是它们是某种褶皱球面的切片，而不是光滑球面的切片。因为有它们，数学家们得以构建出普通四维空间的所谓“奇异”版本。

从拓扑学的观点看，这些有着无法抚平的褶皱的奇异空间的存在，使得第四维度能和其他维度区分开来。

而切片性问题，是对这些奇异四维空间“最低限度的探测”。

复杂的康威结  

多年来，数学家们已经发现了许多属于拓扑学切片但不是平滑切片的纽结。

但是在包含 12 个或不到 12 个交叉的纽结中，却似乎并没有这样的――只有康威结或许是个例外。

对于所有包含 12 个或不到 12 个交叉的纽结，数学家都已经可以确定它们的切片状态（slice status），但此前没人搞得定康威结。

提出康威结的传奇数学家约翰·康威（John Conway）在 2020 年 4 月因为新冠肺炎不幸逝世，他生前因为对一个又一个数学分支做出巨大贡献而闻名于世。


1990 年 3 月，数学家约翰·康威正在解说他在中学时证明的一条定理：为什么两个纽结不能相互抵消。| youtube 截图

1950 年代，还是青少年的康威开始对纽结产生了兴趣，他想出了一个简单的方法，将包含 1 个到 11 个交叉的纽结全部罗列了出来（之前的完整清单最多只包含 10 个交叉）。

在他的清单上，有一种纽结尤其显眼。“我认为康威当时就意识到了这种纽结的特殊之处。”格林说道。


剑桥大学数学系的一扇门上，铸着一个康威结 | 维基百科

那就是后来著名的康威结了，通过 1980 年代的革命性发现，数学家们意识到了它是是一种拓扑学切片。但是他们无法确定它是否是一种平滑切片。怀疑它不是，是因为它似乎缺乏平滑切片纽结通常具有的一种特征，“丝带性”（ribbonness）。但反过来，它又具有另一种特征，使一切主张它不是平滑切片的证明都无法成立。

具体地说，康威结还有一个“姐妹结”（sibling），用术语来说叫“变异体”（mutant）：在纸上画一个康威结，然后裁下一部分，将这部分翻转过来再和原来的线段相连，就会得到另一种“Kinoshita-Terasaka 结”。问题来了：这个新的纽结竟是一个平滑切片。既然康威结与一个平滑切片纽结有着如此紧密的联系，那么数学家用来判定非切片纽结的所有工具（称为“不变量”[invariants]）对它就都不适用了。


当数学家试图证明康威结并不是“切片”时，他们被和它近似的另一种纽结所妨碍，那种纽结叫“Kinoshita-Terasaka 结”，是平滑切片。后来丽莎·皮奇里洛则利用康威结的“轨迹”（trace）构造了另一个更复杂的纽结，并用这个新的纽结确定了康威结的切片状态。| quanta magazine

“每当有新的不变量问世时，我们都会用康威结测试它。”格林说，“但康威又结实在是一个顽固的对象，不管你想出怎样的不变量，它都无法告诉你康威结到底是不是切片。”

皮奇里洛也表示，不同的工具各有各的盲点，而康威结“正好处在这些盲点的交叉地带上。”

杨百翰大学的数学家马克·休斯（Mark Hughes）发明了一种神经网络，它运用纽结不变量和其他信息来预测纽结的切片性等特征。对于大部分纽结，这个网络都能做出清晰的预测。但是对于康威结是否是平滑的切片，它就只能猜测了，猜测的概率是 50 对 50 。

“它渐渐变成了一个我们无法对付的纽结。”利文斯顿说。

直到皮奇里洛决定开始做她的“家庭作业”。

构造出一个“轨迹姐妹结”  

皮奇里洛很享受纽结理论中包含的视觉奇观，但她认为自己的主要身份并不是一个纽结理论家。她说：“我真正感兴趣的是三维和四维物体的形状，研究扭结只是因为对这些物体的研究深刻地关联到纽结理论。”

在波士顿学院教过皮奇里洛的伊丽珊达·格里格斯比（Elisenda Grigsby）教授表示，皮奇里洛刚开始在大学里念数学时，并不是一个“典型的数学神童”。但是她的创意吸引了格里格斯比：“她很相信自己的观点，向来如此。”

听说康威结的时候，皮奇里洛正在思考另一个问题：两个纽结除了互为变异体之外，还能以怎样的形式关联？

每个纽结都有一个与它相关的四维形状，称为“轨迹”（trace），绘出轨迹的方法是将一个纽结放在一个四维球体的边界上，然后沿着纽结在球体上缝出一顶“帽子”。 一个纽结的轨迹里，深刻编码了关于这个纽结的信息。


创造力是皮奇里洛作为数学家的核心能力。| quata magazine

不同的纽结可以拥有相同的四维轨迹，而这些“轨迹姐妹”总有相同的切片状态：要么两个都是切片，要么两个都不是。

这就向皮奇里洛指出了一条证明康威结并非切片的思路：她可以画出康威结的一个轨迹姐妹，或许那位姐妹可以比康威结本身更好地用切片不变量来判定。

绘制轨迹姐妹是一件麻烦事，但皮奇里洛是这方面的能手。“那就好像是我的老本行似的。”她说，“我一回家就开始干了。”

通过一系列巧妙的扭转，皮奇里洛构造出了一个和康威结有着相同轨迹的复杂纽结。再用一件名为“拉斯穆森式氏 s 不变量”（Rasmussen's s-invariant）的工具来判定，显示了这个纽结不是一个平滑切片――由此推出，康威结也不是一个平滑切片。

“这个证明真漂亮。”戈登赞道。他说本来他绝不指望皮奇里洛构造的这个纽结能用拉斯穆森氏 s 不变量来判定的，“但神奇的是，它判定出来了。”

格林则在一封电邮中写道，皮奇里洛的证明“是一类证明的典范：它们对难以捉摸的定理提出简短而出人意料的证明，其成果能够迅速为本领域的研究者读懂、欣赏并推而广之——研究者们还会感叹，这样简单的证明居然过了这么久才有人提出。”

格林表示，纽结轨迹作为一件经典的工具已经存在了几十年，但皮奇里格对它的理解之深却超越了任何人。她的研究告诉拓扑学家，纽结轨迹的意义被低估了。“她拾起了一件有点积灰的工具。现在别人也在效仿她了。”格林说。

来源 果壳 2023-11-04 12:01 发表于四川