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发表于 2023-12-2 13:38
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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2023-12-5 00:11 编辑
第一，在毛泽东《矛盾论》中“两种宇宙观”一节中讲到：“在人类的认识史中，从来就有关于宇宙发展法则两种见解，一种是形而上学的见解，一种是辩证法的见解”；这一节毛泽东还讲到：“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”。在“矛盾的普遍性”一节中，引用了恩格斯的“高等数学的主要基础之一就是矛盾……”、“就是初等数学也充满着矛盾……”。对这些矛盾，就需要使用“辩证法的见解”去解决：例如对“哥德巴赫的猜想”的大难题，使用“1替换2作为第一个素数后，不仅可以得到100以下偶数都是两个素数和”，而且还可以继续下去得到许多偶数都是如此，但如果因此就说“根据数学归纳法哥德巴赫的猜想得到了证明”是错误的，事实上，根据本文第一节叙述的“自然数集合只是元素个数趋向于+∞,但永远达不到+∞的辩证法概念”自然数集合是人们的一个想象性的无法构造完毕的无穷集合，哥德巴赫的猜想违背事实，应当取消，不能得到证明；这样就解决了这个大难题。
第二，对于定积分，我的第一就说了曲边梯形的面积。
除了例一，例二，例三，例四，还有；
例五 勒贝格积分不需要： 在联系实践的意义下，由于人们无法将所有理想实数是不是有理数或无理数的问题一个一个地都判断出来（例如与0挨着的理想实数是不是无理数的问题就是无法判断出来的），所以狄利克莱（Dirichlet）函数无有现实意义，我们不需要研究它的导数与原函数，不需要为此提出勒贝格积分。”。在徐瑞云译，И.П.那汤松著《实变函数论》）下册第十六章“勒贝格积分的某些推广）的引言（472 页）”讲到函数： “ ，它在[0,1]上处处有有限的导数 ，但后者不是勒贝格可积的函数。因此，……，法国数学家A.当若阿引入了比勒贝格积分更一般的积分运算”。笔者计算了这个导函数，得到的表达式是： ，这个表达式的后一项在理想点x=0处的极限不存在，但可以可以使用有瑕点广义积分方法计算它在区间[0,1]上定积分。即先在区间 上计算定积分，这时，这个导函数的原函数是存在的；先求这个区间上的定积分。这个定积分是ε的函数，然后研究ε→0 的极限值，就可以作为那个导函数在区间[0,1]上广义积分。这个广义积分就是它的原有函数式在区间[0,1]上的函数增量。所以不需要为此提出И.П.那汤松 著《实变函数论》下册中的勒贝格积分的某些推广。
第六 定积分计算的通用方法的一个实例： 有个网友向笔者提出：如何计算定积分 的问题。根据前述的几个问题，第一步，需要研究这个积分的现实意义，这时可以发现：这个被积函数表示了曲线 弧长函数的导函数，这个曲线是对称于坐标原点的双曲线，这个被积函数的间断点是x=0，计算这个定积分，需要把这个定积分分成x小于0、大于0两种情形进行，由于类似性，下边只讨论x大于0的情形，第二步，需要将积分区间分成可以用原函数增量的计算，由于曲线 被点x=1分成单调减与增两个区间，所以需要将x大于0的情形再分成两部分进行计算；由于类似性，下边只讨论x>1的情形。这时可以提出变上限定积分 就是被积函数的原函原函数，这个原函数在x=1处的函数值为0。第三步，这个原函数在x=2的函数值就是曲线 ，在积分区间[1，2]上的弧长，对此笔者提出了“定积分取值区间逐步减小的计算方法”。至于这个计算方法的具体方法可以叙述如下。第一步，被积函数在积分区间[1，2]的左端点出被积函数值为 ，右端点处处 被积函数值为 ，所以在这个区间上定积分介于 1.0307764064044151374553524639935与 之间；需要指出的是：区间[1，2]上的线段长度一定大于 ，这里的 太小了。为了增大这个数值并得到这个区间上定积分的较精确值，可以将积分区间[1，2]等分为n=1，2，3，……的 等分，根据被积函数与原函数的连续性、一致连续性与被积函数的单调递减性，可知：这些小区间上的最大值，大多小于原有的最大值，这些小区间上的最小值，大多大于原有的最小值，所以这些小区间上定积分取值区间的和在原有取值区间之内，而且比原有取值区间小，即精确度可以提高。而且对这个定积分计算的任意小误差ε，都有自然数N存在，使 当 时，被积函数在每个小积分区间上的定积分值取值之差小于 ；于是在积分区间[1，2]上的定积分取值区间之差小于ε。具体来讲，首先将积分区间[1，2]等分为n=1的 的十等分后，依次得到各分点出的被积函数的数值为：1.2973100845075824399569649654646，1.217478166711729203163876134672，1.161949997480862215150141373132，1.1226344930183727918770029447314，1.0943175335329005246384679349908，1.0735864616438677874615234516586，1.0581731272400732452755437546532，1.046546639630752606789333927432 ， 1.0376577489457574455215779354062，
于是得：各小区间被积函数最小值的额和为：11.140430659116313397289784886134，最大值的和为：11.52386781508499330863612114635，将这两个数乘小区间长度，得到区间[1，2]上定积分介于1.11404与1.15238之间，可以提出这个定积分准确到一位小数的不足近似值是1.1。将积分区间[1，2]百等分后，经过麻烦的计算，笔者得到最小值增加了0.01605953，到1.13009953；最大值减少了 0.01843987，到1.13394。积分取值区间减小到：0.00384，得到这个定积分的准确到两位不足近似值是1.13的结果。根据，从十等分到百等分，最小值增大到差值1.15238-1.11404.=0.038341的 的比例，可以想到，将积分区间[1，2]等分1000等分后，可能得到的最小值近似等于1.1316，同理，最大值近似为1.1320；这个定积分的准确到三位小数的不足近似值应当是1.131。应当提出：若将积分区间[1，2]等分为n=2、3，5、6的100、1000、10000、……等分后，会得到这个这个区间上的定积分的依次准确到百位、千位、万位，……小数的不足近似值，但位数较大的这种计算需要使用电子计算机进行。由上所述，可知：当n趋向于+∞时，ε趋向于0.，因此提出积分区间[1，2]上的定积分是这样的极限性理想实数。这个理想实数一定大于1.118。这个理想实数就是原函数在x=2处的的函数值，但n只能趋向于 +∞，n不能达到+∞；只能得到n足够大时的这个定积分与原函数的足够准近似值。这个定积分的计算性质类似于圆周率的计算的只能逐步提高计算精度，但始终得不到绝对准实数值的性质。对于现行定积分理论，这个定积分计算可以说是一个难题，事实上，有人使用分部积分法、换元积分法算了二十多天，始终得不到结果，后来他使用二项式定理把被积函数展开成无穷级数实行逐项积分方法，由于这个无穷级数只是收敛于被积函数但达不到被积函数的事实，他没有得到正确结果。还可以求出区间[2，3]与任何自然数n的区间[[n，n+1]上的定积分都大于1，但越来越接近于1，于是在区间[1，，+∞）上的广义积分为+∞。
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发表于 2023-12-1 15:41