c(1)=5／3，c(n)=bn／an 为最简分数时 c(n+1)=(an+2)／(bn+1)，求 c(1)+c(2)+…+c(21)

a0952775081

請問這題

天山草

已知数列 c(n) 的首项为 c(1) = 5/3;   c(n+1) = a(n+2)/b(n+1);
a(0)=1; a(n)=a(n-1)+2;  b(0)=1;  b(n)=b(n-1)+1;
求  s(21)=c(1)+c(2)+c(3)+...+c(21) 化为最简分数的准确值。

1. a[0] = 1; a[n_] := a[n] = (a[n - 1] + 2);
   
2. b[0] = 1; b[n_] := b[n] = (b[n - 1] + 1);
   
3. c[n_] := c[n] = (a[n] + 2)/(b[n] + 1);
   
4. s[0] = 0; s[n_] := s[n] = (s[n - 1] + c[n]);
   
5. Do[ Print["b(", n, ") = ", b[n], ",  a(", n, ") = ", a[n], ",  c(", n, ") = ", c[n], ",  s(", n, ") = ", s[n]], {n, 1, 21}];

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运行结果：
b(1) = 2,  a(1) = 3,  c(1) = 5/3,  s(1) = 5/3
b(2) = 3,  a(2) = 5,  c(2) = 7/4,  s(2) = 41/12
b(3) = 4,  a(3) = 7,  c(3) = 9/5,  s(3) = 313/60
b(4) = 5,  a(4) = 9,  c(4) = 11/6,  s(4) = 141/20
b(5) = 6,  a(5) = 11,  c(5) = 13/7,  s(5) = 1247/140
b(6) = 7,  a(6) = 13,  c(6) = 15/8,  s(6) = 3019/280
b(7) = 8,  a(7) = 15,  c(7) = 17/9,  s(7) = 31931/2520
b(8) = 9,  a(8) = 17,  c(8) = 19/10,  s(8) = 36719/2520
b(9) = 10,  a(9) = 19,  c(9) = 21/11,  s(9) = 456829/27720
b(10) = 11,  a(10) = 21,  c(10) = 23/12,  s(10) = 509959/27720
b(11) = 12,  a(11) = 23,  c(11) = 25/13,  s(11) = 7322467/360360
b(12) = 13,  a(12) = 25,  c(12) = 27/14,  s(12) = 8017447/360360
b(13) = 14,  a(13) = 27,  c(13) = 29/15,  s(13) = 8714143/360360
b(14) = 15,  a(14) = 29,  c(14) = 31/16,  s(14) = 18824681/720720
b(15) = 16,  a(15) = 31,  c(15) = 33/17,  s(15) = 343803337/12252240
b(16) = 17,  a(16) = 33,  c(16) = 35/18,  s(16) = 122542379/4084080
b(17) = 18,  a(17) = 35,  c(17) = 37/19,  s(17) = 2479416161/77597520
b(18) = 19,  a(18) = 37,  c(18) = 39/20,  s(18) = 526146265/15519504
b(19) = 20,  a(19) = 39,  c(19) = 41/21,  s(19) = 185482083/5173168
b(20) = 21,  a(20) = 41,  c(20) = 43/22,  s(20) = 195593275/5173168
b(21) = 22,  a(21) = 43,  c(21) = 45/23,  s(21) = 4731437885/118982864

天山草

这道题如果不用编程计算，有别的巧妙方法吗？

Treenewbee

天山草的初始值不对，应该是：\[\frac{5}{3},\frac{5}{6},\frac{4}{3},1,\frac{3}{2},1,\frac{3}{2},1,\frac{3}{2},1,\frac{3}{2},1,\frac{3}{2},1,\frac{3}{2},1,\frac{3}{2},1,\frac{3}{2},1,\frac{3}{2}......\]

Treenewbee

天山草 发表于 2023-11-28 03:09
这道题如果不用编程计算，有别的巧妙方法吗？

此类题目总是需要先列出前几项的，你列出三五项就会发现它进入循环了，如此就简单了

Treenewbee

天山草 发表于 2023-11-28 02:25
已知数列 c(n) 的首项为 c(1) = 5/3;   c(n+1) = a(n+2)/b(n+1);
a(0)=1; a(n)=a(n-1)+2;  b(0)=1;  b(n) ...

复杂了，可简化为

1. c=NestList[Simplify@(Denominator@#+2)/(Numerator@#+1)&,5/3,20];
   
2. {c,Total@c}

复制代码

a0952775081

謝謝各位老師，我有列出來以及算出答案

天山草

按  4#  楼的说法，原题的意思是：



那么原题怎样表达才更清楚一点呢？ a（n），b（n） 的递推式是怎样的？

Treenewbee

\[a_n=\{3,6,3,1,2,1,2,1,2,1....\}\]
\[b_n=\{5,5,4,1,3,1,3,1,3,1....\}\]

Treenewbee

Treenewbee 发表于 2023-11-29 02:56
\[a_n=\{3,6,3,1,2,1,2,1,2,1....\}\]
\

硬凑一个通项公式还是可以凑出来的