对数学家数学创造过程的社会思考

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对数学家数学创造过程的社会思考

作者：张晓贵 中国科学院数学与系统科学研究院 2023-09-14 14:18 发表于北京

摘要：

由于数学在当今社会所扮演的重要角色, 因而对数学家数学创造的研究具有极为重要的意义。阿达玛提出的四阶段数学创造模式在今天仍然具有一定的意义, 但不足之处也是明显的。在阿达玛四阶段模式的基础上，考虑到社会因素在数学家数学创造过程中的作用，本文将之扩展成六阶段的数学创造模式。在文章的最后对数学家的数学创造提出了几条建议。

数学在当今社会的发展中扮演着极为重要的作用，兼具有科学和技术两种职能。数学本身的发展也是非常迅速的，每年在正式期刊上发表的数学论文近十万篇。对数学家创造数学的研究不但有利于促进数学本身的发展从而有利于社会的进步，也有利于通过数学教育培养学生的创新能力，因而这是一个极有价值的研究领域。



遗憾的是针对数学家数学创造而进行的研究是很少的，这可能是因为大多数数学家对于自己数学创造过程的分析不感兴趣，而对于那些数学门外汉来说数学创造又是一个不易理解的现象。至今为止，对数学创造研究最为著名的仍然是六十年前法国著名数学家阿达玛的《数学领域中的发明心理学》。阿达玛对数学创造的研究是从心理学的角度进行的，据最近的一些研究认为，他所提出的数学创造模式对于今天数学家的创造工作来说在很大程度上仍然是有效的。在阿达玛后虽然也有一些零星的对数学家数学创造的研究，但基本上都是从心理学的角度来进行的且与阿达玛的研究结果有一定的相似性，例如 Ervynck 的相关研究。



本文将在阿达玛所提出的数学创造模式的基础上，从社会角度来审视数学家的数学创造，并进而对阿达玛所提出的数学创造模式进行扩展，最后从所提出的扩展模式出发对数学家的创造工作提出几条建议。

1 对阿达玛数学创造模式的简要说明

通过对一些著名数学家和科学家的调查并在当时已有研究的基础上（如庞加莱的有关工作），阿达玛提出了数学创造的四阶段模式，它们分别是准备阶段、酝酿阶段、顿悟阶段和明确结果阶段，由于该模式明显地受到当时流行的格式塔心理学的影响，因而该模式又被称为四阶段的格式塔模式。在准备阶段，数学家有意识地、艰苦地去解决手头的数学问题。在酝酿阶段，数学家把经过努力仍然没有解决的问题放在一边，头脑中开始考虑另一个问题。在顿悟阶段，问题的解决突然地出现在数学家的脑海中，此时数学家可能正从事一件与该问题不相关的活动。最后一个阶段即明确结果阶段,数学家对问题的解决结果进行证明、精确地把结果写出来以及通过对结果的使用而寻找可能的扩展[1]。

阿达玛的数学创造模式从数学家尝试解决所面临的数学问题开始到对问题的结果进行明确为止,描述了数学家的数学创造过程。但该模式有一些明显的不足之处，例如，它实际上并没有真正完整地描述数学家数学创造的全过程，因为在该模式中的数学问题是现成的，但在现实中数学家所面临的数学问题并非现成。还有，在该模式中当数学家对问题的结果进行明确后就完成了数学的创造，但是在现实中，数学家的数学成果还需要得到数学共同体的认可才能成为数学知识的一部分。除了不完整外，阿达玛的数学创造模式还把数学家的创造基本上看成是数学家的个体行为，这与现实的数学研究也是不相符合的。最后，与数学家数学创造有关的一些其它因素如数学共同体以及数学家从事研究的环境等也会极大地影响到他们的数学创造，但在阿达玛的数学创造模式中这些都没有被强调。

2 数学家数学创造活动中的社会因素

在数学创造过程中，除了数学家个体的数学心理活动外，还会涉及到不少的社会因素，这些因素对于数学家成功的数学创造是不可缺少的。以下就以阿达玛的数学创造模式为基础，分析在数学创造过程中有关的社会因素。

01 数学家的研究环境与数学创造

数学家的研究环境与其数学创造有着很大的关系。和其它领域的创造类似，数学创造需要一定的文化环境和一定的研究条件，而文化环境与研究条件二者之间往往也是关联的。例如，在一所研究型大学里的数学家通常比教学型大学里的数学家能够更多地产生研究成果，这主要是在研究型大学里数学家受到大学里研究文化的影响，这种崇尚创造研究的文化会使得数学家们不自觉地将研究作为自己工作的重要部分，自发地比教学型大学里的数学家们投入更多的精力从事数学研究。并且在这种文化中，数学家们能够更容易找到志趣相同的人，他们之间的交往也会促进数学的创造。另外，研究型的大学会给数学家提供更多的从事研究的时间以及更好的资料以及其它设备，这些对于数学家的创造活动显然也是非常重要的。特别地，在一些著名的数学中心如 19 世纪末的巴黎理工大学、20 世纪前 30 年的哥廷根大学以及现在的普林斯顿大学，它们更是数学家数学创造的天堂，其原因正是它们能够为数学家的研究提供浓郁的数学研究文化和良好的数学研究条件。

02 数学家对数学问题的选择

数学问题是数学发展的核心，从某种意义上说，数学的发展过程就是新问题的不断出现并被解决的过程。对于数学共同体来说，数学问题是一种动态的存在。也就是说，在任何时候，数学共同体总是面临着一定的问题，整个共同体的主要工作就是围绕着这些问题进行研究，随着问题的不断被解决，新的问题又源源不断地被提出来。对于数学家个体来说，数学问题是研究的出发点，他们的发展就是通过一个个问题的解决而实现的。任何时候的数学家所选择要解决的问题，一般来说都是数学共同体所面临的，因为只有这样的问题才会得到共同体的认可，相应的数学创造才会被共同体认为是有价值的。例如，1900 年希尔伯特在巴黎国际数学家大会上所提出的 23 个数学问题就是 20 世纪数学共同体所面临的问题（不是面临的所有问题）。在整个 20 世纪，数学家们围绕着包括 23 个问题在内的数学问题进行研究，极大地推动了数学科学的发展。1976 年，在美国数学家评选的自 1940 年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第 1、第 5 和第 10 问题的解决。

那么数学家个体究竟如何在众多的共同体所面临的问题中进行选择呢? 一般来说，数学家个体总是根据自己的能力和喜好来选择所研究的问题，除此之外，一些外在因素如功利性的因素和科研制度等也会影响到数学家对问题的选择。

03 数学创造过程中的社会性

不管个体数学家有没有意识到，他总是作为数学共同体的一员而进行其研究工作的。除了要解决共同体认可的数学问题外，他在研究中还必须采用共同体认可的研究方法和研究语言，否则将来的成果就难以得到共同体的认可，而得不到认可也就意味着其研究是无价值的。

当数学家确定了一定的数学问题后，就开始了问题解决的努力，这也就是阿达玛所谓的准备阶段。在该阶段中，研究的社会性可以从两个方面得到体现，第一是合作研究。在很多情况下，数学家并非一个人去探索，而是结成一个个研究小组。在研究小组中，数学家们分工合作，在讨论、协商、争论和辩解中，他们相互启发，相互补充，最终完成对数学问题的研究。这种数学家之间合作研究的情况越来越普遍，它已经极大地改变了人们对数学家研究的传统认识。你只要翻开数学杂志的目录就会看到数学合作研究在今天数学研究中所占有的地位。笔者随便翻开手头的两本数学杂志，一本是我国的《数学学报》2009 年第一期，在该期中共有 21 篇论文，其中独立作者的论文只有 4 篇（不到 20 %），三人合作的论文有 6 篇，其余的 11 篇为两人合作论文。另一本是《Computational Mathematics and Modeling》2010 年第二期，该期共有 7 篇论文，其中独立作者的论文是 3 篇（约 43 %），三人合作的论文 1 篇，其余 3 篇为两人合作论文。第二是数学家在研究过程中与其他数学家的交流。在解决问题的过程中，数学家会在各种正式或非正式的场合通过直接或间接的方式与其他的数学家或科学家进行交流如就某些问题的请教和讨论，这种与其他数学家的交流对于数学家解决问题起到了积极的作用，其价值已经为许多数学家所认可，“我认为它是一个积极的因素，它能够不断地刺激你的思想”[2]。

酝酿阶段是数学创造的一个特殊阶段，它是数学家在经过努力仍然没有解决问题后进入的一种创造状态。数学家把这个暂时还没有解决的问题放在一边，开始着手进行其他的工作。此时，对于先前没有解决的问题来说，创造工作由有意识进入无意识状态。有数学家认为，此时“问题开始与你交谈”，也有数学家认为在该阶段直觉开始与逻辑进行交流，这种交流在有意识状态下是无法进行的。即使在该阶段，我们认为社会因素仍然可能会在其中发生一定的作用。例如，一些数学家报告说他们是在与他人进行交谈的时候灵光乍现的。数学家解决问题的无意识状态类似于计算机的后台运行，虽然看不到但它却实实在在运行着。这就是说数学家在无意识的状态下一直在寻找着问题的答案，而社会活动（如与他人的交谈）可能会给了这种无意识的寻找努力提供启示从而导致答案的出现。

04 数学家创造成果的社会认可

即使数学家对问题的解答进行了明确，从社会的角度看，他的创造工作仍然没有结束，因为数学家需要把问题解决的结果在数学研究期刊上发表。如果数学家的研究成果不能在数学研究期刊上发表，那么他的数学创造工作实际上就没有价值。一旦能够发表，这就意味着数学家的创造得到了数学共同体的认可，其研究的结论就成为了数学科学知识体系中的一部分。但并不是所有的数学问题的研究结果都能够在期刊上发表的。Ulam 在 1976 年时就曾估计每年有高达 20 万个数学定理被证明，但是能够在数学研究期刊上发表的只有少数[3]。

和一般的实践共同体一样，在数学共同体中，其成员也包括从边缘参与者到处于核心地位的研究者，后者在很大程度上影响着数学的发展，对数学家数学创造成果的认可也是由那些处于核心或较为核心地位的成员来确定的。例如，Wiles 对费马大定理证明的合法性就需要由处于共同体核心的几个成员来确定。一篇数学研究论文能够发表，在于它能够被这些具有影响力的核心成员所认可，显然有相当比例的研究论文并不能被他们认可，而这些不能被认可的论文并非一定可以用论文本身的“质量”来解释的。

除了以上的几点外，在此需要特别强调的是，数学家的数学观对于其数学创造活动具有重要的影响，该结论已经被国内外学者所广泛认可，而数学家的数学观正是在其长期的数学社会活动中逐步形成的。

3 对阿达玛数学创造模式的扩展

由以上的分析可知，社会因素在数学家创造数学的过程中扮演着不可缺少的作用。以下考虑到社会因素所发挥的作用，对阿达玛的数学创造模式进行一定的扩展。



数学家总是存在于一定的研究环境（如大学、研究所）中，从属于一定的数学共同体，是作为共同体的一员而进行其研究工作的（由于共同体并非是一个实体组织，因而用虚线表示）。一定的研究环境为数学家提供了从事数学研究所需要的文化氛围、时间以及数学研究的其他条件（由于数学家的研究环境是实体因而用实线表示），而一定的数学共同体则确定了数学家从事数学研究的问题以及语言和方法等。在数学研究的第一个阶段即问题阶段，数学家首先要根据自己内在的能力和喜好以及外在的功利性和科研制度等选择将要进行研究的问题，该问题也是其所在数学共同体所面临的问题。第二个阶段即准备阶段，当数学家选定了所要研究的问题后，他会对该问题进行深入的理解并尝试着对之进行解决，为了更好地解决该问题，他可能会与其他的数学家进行合作研究，也会利用各种场合和方式与其他数学家进行交流。在进入数学研究的第三阶段即酝酿阶段中，数学家尽管表面上将上述问题放在一边而开始从事其他问题的研究，但是在潜意识中他仍然在寻找着该问题的答案。而此时的某种社会活动有可能会刺激数学家的潜意识，从而使得问题的解答突然出现即进入数学研究的第四阶段顿悟阶段。在数学家对问题的结果明确即第五阶段后，他的数学创造工作并没有结束，还有最后一个不可缺少的第六阶段即认可阶段。因为，如果他的研究结果不能发表在数学研究期刊上，那么也就意味着他的研究实际上是没有价值的。而要想能够将成果发表，它必须要得到共同体内有一定影响力成员的认可。一旦获得他们的认可，数学家的研究成果就可以发表，而该成果也就成为数学学科知识的一部分。

4 总结和建议

以上对阿达玛数学创造模式的扩展既考虑到数学创造中数学家的心理活动，也强调了社会因素在其中扮演的重要角色。除了增加“问题”和“认可”两个阶段从而把四阶段扩展成六阶段外，它还考虑到数学家的研究环境以及所属于的数学共同体，这样就使得该模式构成了数学创造的一个完整过程。对于数学家来说，该模式对于其数学研究有几点启示:

第一，由于研究环境对于数学研究的重要性，因而那些渴望能有更多数学创造的数学家应该尽可能地寻找有利于数学研究的环境或尽力创造一个相对有利于数学创造的小环境。数学创造不只是唯一取决于数学家个体的数学才能，一个良好的研究环境也是非常重要的。

第二，任何数学家自觉或不自觉地都是某数学共同体的成员，其成长也是从边缘成员逐步地向核心成员的过渡，因而要自觉地使自己的研究符合共同体的要求，包括研究中的语言和方法等，特别地，所选择的问题应该是共同体所面临的问题。例如，一些数学组织和数学研究期刊会定期地提出一些供选择的问题，这些问题应该是数学家在选题时特别需要考虑的。

第三，数学家在创造数学的过程中相互之间的合作交流极大地有利于其数学创造，因而数学家应该积极地寻找机会和其他的数学家进行合作交流。特别是那些研究环境不好的数学家更应该利用各种可能的机会和方式与其他数学家尤其是那些在共同体中有更大影响力的数学家进行交流。

参考文献

[1]雅克·阿达玛著.数学领域中的发明心理学[M].陈植荫,肖溪安译.南京:江苏教育出版社, 1989:36-51.

[2]Sriraman, B. The C haracteristics of Mathematical Creativity[J].ZDM Mathematics Education, 2009, 41:13-27.

[3]Ulam, S. Adventures of a Mathem atician[M].New York:Scribner's, 1976.

本文转自：《自然辩证法研究》第 26 卷第 7 期。

来源：和乐数学