【资料】2023CMO浙江赛区初赛中的椭圆表现

dodonaomikiki

已知椭圆
  \(                 \frac{x^2}{  25      }+\frac{   y^2}{  16}    =1     \)
上顶点  \( A,  左端点B，   P(t,0),  t的取值范围【-4，  -1】      \)
链接  \(                 AP,交椭圆于点C，过该点作x-axis的垂线       \)
交妥园于另一个点  \(                 D       \)         
计算  \(                 Area(ABD)的取值范围      \)

dodonaomikiki

看起来，
难度不大毕竟是初赛，
计算比较繁杂？
来看一哈

\begin{align*}
\Longrightarrow     Point   \qquad   &C( \frac{ 50t   }{  t^2+25  }   ,  \frac{ 4t^2-100   }{  t^2+25  }   )\\
Cauz \qquad     Point  \qquad      &C,D   \qquad   are  \qquad   \qquad   symmetrical   \qquad   about  \qquad   x-axis\\
\Longrightarrow   Point   \qquad    &D ( \frac{ 50t   }{  t^2+25  }   ,  \frac{ 100- 4t^2      }{  t^2+25  }   )\\
And   \qquad   ADE   \qquad   are  \qquad   & co-llinear\\
\Longrightarrow   &Point         \qquad                E  (  \frac{25}{t}    ,0          )\\
\Longrightarrow    Area(ABD   )&= Area(ABE   )- Area(BD E  )\\
&=\frac{BE}{2  }(y_A-y_D)\\
&=\frac{ 20（-t^2-5t） }{  t^2+25   }\\
Cauz  \qquad   t  \in   【 -4,  5(1-  \sqrt{2}   ) 】  \\
\Longrightarrow     &\frac{80   }{41}  \preceq   Area(ABD   )         \preceq       10(\sqrt{2} -1) \\
\end{align*}

dodonaomikiki

  以下是疑问以及思考：


这是我的计算
\begin{align*}
Area(ABD   )&= Area(ABE   )- Area(BD E  )    \\
&=\frac{BE}{2  }(y_A-y_D)   \\
&=\frac{\frac{25}{t}+5   }{2  }  \bullet   (4-      \frac{  100-4t^2  }{   t^2+25}                )          \\

&=\frac{\frac{25}{t}+5   }{2  }  \bullet      \frac{  4t^2+  4t^2   }{   t^2+25}              \\
&=  \frac{   4t   }{   t^2+25}  (25+5t)\\
&=\frac{  20(5+t)t  }{ t^2+25}

\end{align*}
与提供的标准答案不符合，
甚是奇怪


后来才发现，
自己太粗心啦，不应该是           \( 【x_E- x_B】  \),而是相反
所以，答案前面应该加一个负号           \( =\frac{  -20(5+t)t  }{ t^2+25}       \)

dodonaomikiki

\begin{align*}
&A（0,4）\\
&D ( \frac{ 50t   }{  t^2+25  }   ,  \frac{ 100- 4t^2      }{  t^2+25  }   )\\



再寻求点&E的横坐标\\
\frac{y-4}{x}&=\frac{   100- 4t^2 -  4t^2-100 }{  50t   }\\
\frac{-4}{x}&=\frac{   - 8t^2   }{ 50 t   }\\
\frac{1}{x}&=\frac{   2t^2   }{ 50 t   }\\
\frac{1}{x}&=\frac{   t^2   }{25 t   }\\
\frac{1}{x}&=\frac{   t   }{25 }\\
x&=\frac{25}{t}\\

\end{align*}





慨叹\(\blacksquare\)
前面一直算错，
太粗心啦！
实际上，
计算很简单！不应该算错

dodonaomikiki

这么来看，
这个题目也不简单！
计算上，要付出一定功力！
里面。隐藏着一些技巧

dodonaomikiki

然后，建立以下函数
\begin{align*}
y&=\frac{ 20（-t^2-5t） }{  t^2+25   }\\
在进行求导，\\
因为这种大学知识就太简单啦\\\
省略一哈！\\




图形上也看出，\\
&【-4，   5-5\sqrt{5}】这一段区间上\\
函数单调递增！\\
如此一来，&-4这个地方算出三角形最小面积，\\
&（    5-5\sqrt{5}       ）这个地方算出三角形最大面积
\end{align*}
  

dodonaomikiki

最后一步，计算面积评述：
计算确实很麻烦！
心态浮躁着，就不要计算啦说实话，算着算着，确实让人厌烦！




最后来看，
虽然是初赛题目，
也是蛮好的！考察一个人的心定不定，有木有定力！不容易
【潜台词：  对数学木有兴趣懒得计算，不要玩竞赛】