设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多只有一个完全平方数

ccmmjj

若\(a,b\)是正整数，求证:\(2a^2+2ab+b^2\)与\(a^2+2ab+2b^2\)至多一个完全平方数。
或者举出反例，否定它。我想了许久，没想到方法。

ysr

（a+b）^2+a^2     和（a+b）^2+b^2，据勾股数公式就可以得到很多吧？
比如前者a=3，b=1就可以得到5*5=25，后者a=1，b=3也可以得到5*5=25，
前者a=6，b=2就可以得到10*10=100，后者a=2，b=6也可以得到10*10=100，
等等。

lihp2020

你可能没有理解到他问啥

比如前者a=3，b=1  （a+b）^2+a^2 =25     和（a+b）^2+b^2=17
25 和 17 是否同时为完全平方数？？

ysr

ysr 发表于 2023-5-22 07:04
（a+b）^2+a^2     和（a+b）^2+b^2，据勾股数公式就可以得到很多吧？
比如前者a=3，b=1就可以得到5*5=25 ...

额，理解错误了，这俩数并不能同时为完全平方数，可以证明的，证明简述如下：

   证：
    设a>=b，前者=（a+b）^2+a^2，后者=（a+b）^2+b^2=（a+b）^2+a^2-（a^2-b^2)
当且仅当a=b=0时二者是相等的且都是完全平方数，根据题意a，b均为正整数，所以，此时不成立了a和b不能等于0。
其他的时候a=b的情况据勾股数公式知道二者虽然相等但都不是完全平方数。
  当a>b的时候，当a，b没有公因子的时候二者是二次相邻数（我的文章中的专用名词，概念见我发论坛的文章《费马定理的初等证明》），而当a，b有公因子时，提取公因子后a，b剩余的因子又使二者构成2次相邻数，而2次相邻数再同乘以任何一个整数都不会同时是完全平方数了，所以，二者之中最多有一个是完全平方数。

ysr

ysr 发表于 2023-5-22 08:04
额，理解错误了，这俩数并不能同时为完全平方数，可以证明的，证明简述如下：

   证：

其他的时候a=b的情况：二者相等，都等于（a+b）^2+a^2=4a^2+a^2=5a^2，a不等于0的时候这是个非平方数。

ysr

ysr 发表于 2023-5-22 08:04
额，理解错误了，这俩数并不能同时为完全平方数，可以证明的，证明简述如下：

   证：

2次相邻数举例：（概念见我的文章，举个例子便于理解）

例如：2,3,4就是一组2次相邻数
5,6,7,8,9是一组2次相邻数，
…………
17,18,19,20，……，25是一组2次相邻数。

ysr

ysr 发表于 2023-5-22 08:21
2次相邻数举例：（概念见我的文章，举个例子便于理解）

例如：2,3,4就是一组2次相邻数

1,2,3也是同一组2次相邻数，
4,5,6,7,8也是同一组2次相邻数，
…………，
25,26,27，……，35是同一组2次相邻数。
这和前楼的情况一样都叫2次相邻数，是同一个概念的俩不同的分类方法。（概念参考我的文章）

ysr

ysr 发表于 2023-5-22 08:04
额，理解错误了，这俩数并不能同时为完全平方数，可以证明的，证明简述如下：

   证：

设a>=b，前者=（a+b）^2+a^2，后者=（a+b）^2+b^2=（a+b）^2+a^2-（a^2-b^2)
当a，b没有公因子的时候二者是2次相邻数，
要证明此时二者是2次相邻数需要用到二重数学归纳法，比较繁琐，我省略了（而且还要用到整数排列表，平方数和非平方数分开的排列表，我文章中有）。

当二者有公因子时，提取公因子以后剩余的因子又使二者构成了2次相邻数，所以，再乘以任何其他因子二者都不会同时是完全平方数了，则主楼命题是对的，得证。

ysr

ysr 发表于 2023-5-22 10:30
设a>=b，前者=（a+b）^2+a^2，后者=（a+b）^2+b^2=（a+b）^2+a^2-（a^2-b^2)
当a，b没有公因子的时候二 ...

程序验证了一下，a和b没有公因子，也不一定是2次相邻数，设m=前者=（a+b）^2+a^2，n=后者=（a+b）^2+b^2=（a+b）^2+a^2-（a^2-b^2)，验证结果如下：
a=11  m=265  n=145  √m=16  √n=12
a=11  m=290  n=173  √m=17  √n=13
a=11  m=317  n=205  √m=17  √n=14
a=11  m=346  n=241  √m=18  √n=15
a=11  m=377  n=281  √m=19  √n=16
a=11  m=410  n=325  √m=20  √n=18
a=11  m=445  n=373  √m=21  √n=19
a=11  m=482  n=425  √m=21  √n=20
a=11  m=521  n=481  √m=22  √n=21
a=11  m=562  n=541  √m=23  √n=23

ysr

a=11，b=1,2,3，……，10，时，只有如下3组m，n是相邻数：
a=11  m=482  n=425  √m=21  √n=20
a=11  m=521  n=481  √m=22  √n=21
a=11  m=562  n=541  √m=23  √n=23