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正六边形 ABCDEF 面积 6,G,H,I 是 FA,BC,DE 的三分点,求 AI,CG,EH 围成正三角形面积

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发表于 2023-3-20 20:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
如图,这是从网上看到的一道日本几何题目:正六边形面积等于6,I、G、H是隔边上的三分点,AI、CG、EH三线围成一正三角,求其面积。



我将它作为睡前催眠,催了三晚,没想出来。今天用笔计算,大概得了一个9/7的答案,不知道是否正确,请诸友斧正。

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发表于 2023-3-21 11:22 | 显示全部楼层

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很巧的做法!S阴影=3S△KCJ这一步最好说明一下。另外KHE三线共点也要证明。  发表于 2023-3-21 14:53
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发表于 2023-3-21 14:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-3-21 20:04 编辑

来个不动脑子的方法:



运行结果:




ccmmjj  老师:您下面提的这个事已在 8# 楼给了回复。

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草兄的这个工具什么时候教我用一用?是什么软件,可有使用说明?能不能分享?  发表于 2023-3-21 15:55
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发表于 2023-3-21 15:17 | 显示全部楼层
图示已经明了,最大正三角形减去三个三分之一,重叠=阴影。连接KE自然过H,瞪眼可知。
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发表于 2023-3-21 15:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2023-3-21 17:15 编辑

1楼的图。小三角形3条边=r,2x,3x。正三角形面积=3个小三角形面积+1

\(AB=3r,6=\frac{6*(3r)(3r)\sin(60)}{2}\Rightarrow r^2=\frac{4}{9\sqrt{3}}\)

\(r^2=(2x)^2+(3x)^2-2(2x)(3x)\cos(60)\Rightarrow x^2=\frac{4}{63\sqrt{3}}\)

\(正三角形面积=\frac{3*(2x)(3x)\sin(60)}{2}+1=\frac{9}{7}\)

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x是什么 ?你用的是哪个图?  发表于 2023-3-21 15:46
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 楼主| 发表于 2023-3-21 15:52 | 显示全部楼层
时空伴随者 发表于 2023-3-21 07:17
图示已经明了,最大正三角形减去三个三分之一,重叠=阴影。连接KE自然过H,瞪眼可知。

第一个问题确实如此,但总要写得明白。第二个问题恰好是1:2的情况下成立,是要用比例式说明一下为好。目瞪这东西不是人人都有感觉的。
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发表于 2023-3-21 17:56 | 显示全部楼层
Solve[{Tan[a]==3 Sqrt[3], Sqrt[r]/Sin[\[Pi]/3]==Sqrt[x]/Sin[a]==Sqrt[y]/Sin[\[Pi]/3 + a],

6 == (6*9 r  Sin[\[Pi]/3])/2, s == ((Sqrt[r + 27 r] - Sqrt[x] - Sqrt[y])^2 Sin[\[Pi]/3])/2,

Tan[a] == 3 Sqrt[3], \[Pi]/2 > a > 0, r > 0}, {a, r, x, y, s}] // FullSimplify

{{a ->ArcTan[3Sqrt[3]], r ->4/(9Sqrt[3]), x ->4/(7Sqrt[3]), y ->16/(63Sqrt[3]), s ->9/7}}
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发表于 2023-3-21 19:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-3-21 20:07 编辑

ccmmjj  老师,您在 3# 楼的点评中,说的这个工具可能是 mathematica 这个计算软件吧? 如果您电脑上还没有这个软件,可以找人下载一个。目前最新版本是 13.2 的,我用的是 9.0 版的,已落后不少。如果您已经有了这个软件,就只须了解一下复平面上的一些基本解析几何公式即可。这个计算体系最早是网友 denglongshan 开创的。目前喜欢用的人不多。学这个比较容易,但学 mathematica 需要花费较多时间和精力,好在有许多学习资料参考。关于解析几何公式,可参阅 http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1 ,一些典型例题可参阅 http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1
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 楼主| 发表于 2023-3-21 21:36 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2023-3-21 11:58
ccmmjj  老师,您在 3# 楼的点评中,说的这个工具可能是 mathematica 这个计算软件吧? 如果您电脑上还没有 ...

悠闲数学网,我去过,很有意思的一个网站。这个工具,我试着下一个玩玩。至于向量商这个概念,我很早就听那位网友给我介绍过。当时年轻,脑子也快,很是不屑。现在感受不同了,觉得可以接受。
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发表于 2023-3-21 22:54 | 显示全部楼层
题:正六边形 ABCDEF 面积 6,G,H,I 是 FA,BC,DE 的三分点,求 AI,CG,EH 围成正三角形面积 。

思路(1楼图):设AI∩CG=M,AG=r,AM=x,MG=y,正三角形的边长为a,

易算得AI=x+y+a=2√7r。在△AMG中,有r^2=x^2+y^2-xy。

连AH,则AH^2=19r^2=(x+a)^2+(y+a)^2-(x+a)(y+a),即a(x+y+a)=18r^2,或a=9r/√7。

又由条件易算得,r^2=4/(9√3),故a^2=36/(7√3)。

从而,所求正三角形面积=a^2sin60°/2=9/7。

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嗯,做的很好。最好配一个图。谢谢。  发表于 2023-3-22 10:32
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