小议无穷

春风晚霞

一、∞±n=∞的起源
关于无限的记载最早出现在印度的《夜柔吠陀》（英译《Yajurveda》，成书时间约为公元前1200－900年）一书。《夜柔吠陀》书中说道：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”
       随着人类数学实践地深入，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis，1616.12.3-1703.10.28）在其论文《算术的无穷大》（1655年出版）一书中首次提出用∞表示无限。于是《夜柔吠陀》书中的“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限”，用符号表示即为∞-n=∞；∞+n=∞.

春风晚霞

二、康托尔的实无穷观及希尔伯特的无穷旅馆
      德国数学家康托家(Cantor,1845.3.3-1918.1.6)，在分析、总结前人成功经验的基础上，于1883年发表了他著名的《一般集合论基础》。并在该书中从理论上对∞-m=∞；∞+n=∞给出了严谨地论证。
       德国数学家戴维·希尔伯特(又译大卫·希尔伯特，David Hilbert，1862年1月23日～1943年2月14日），在谈到“无限大”的奇怪而美妙的性质(即“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限”)，讲了一个无穷旅馆的故事，讲此故事的目的是为了让听众形象的理解无穷的概念。
       由于集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。虽然它在几何、代数、分析、概率论、数理逻辑及程序语言等各个数学分支中，都有广泛的应用。特别是公理化集合论，从结构到内容比康托尔扑素集合论亦更完善。
       但因集合论研究的对象具有高度的抽象性，也因康托尔主张“数学必须肯定实无穷”、“无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体”等观点。所以，康托尔集合论也招致一些对无穷执不同观点的学者抵制和毁谤。
       其实，康托尔的“数学必须肯定实无穷”、“无穷集是一个现实的、完成的、存在着的整体”，并非康托尔主观臆造。如墨子（名墨翟约公元前468年～前376年，春秋时期邾国人)在他的《墨经》写道：“圜，一中同长也”。若用康托尔集合语表述则为“平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”，即\(S=\lbrace x | x=OR\rbrace，其中：O为圆心R为半径。\)就是一个“现实的、完成的、存在着的整体”。否则，若组成圆周的过程是“永远处于生成状态之中的过程”(潜无穷)，那么人类就永远画不出一条圆周封闭的曲线。从而人类永远做不出与圆相关的(如圆锥、圆台、圆柱)物品。又如\(N=\lbrace n | n为自然数\rbrace\)也是“一个现实的、完成的、存在着的整体”。这是因为N中每个元素都自然数，并且每个自然数都在N中。所以，康托尔的实无穷观也是值得肯定的。

春风晚霞

三、康托尔集合论中两个基本定理的证明
1、无限集与其真子集等势
      【\(\mathbf{证明:}\) 】设A是无限集，∴  A≠\(\phi\)。在集A中任取元素\(x_1\)，则集A-{\(x_1\)}≠\(\phi\)；∴  在集A-{\(x_1\)}任取元素\(x_2\)，则A-{\(x_1，x_2\)}≠\(\phi\)；在A-{\(x_1，x_2\)}中任取元素\(x_3\),则集合A-{\(x_1，x_2，x_3\)}≠\(\phi\)…无限次进行如此操作，得无穷集合B={\(x_1，x_2，x_3…\)｝,令集\(\mathfrak{A}\) =A-B，则A=\(\mathfrak{A}\)\(\bigcup\)B，如果我们令\(\mathfrak{B}\)={\(x_{m+1}，x_{m+2}，x_{m+3}…\)}m为定数，则有\(\mathfrak{B}\)\(\subset\)B，∴\(\quad\)\(\mathfrak{B}\)\(\bigcup\)\(\mathfrak{A}\)\(\subset\)B\(\bigcup\)\(\mathfrak{A}\)=A\(\quad\)如果我们令\(\mathfrak{C}\)=\(\mathfrak{B}\)\(\bigcup\)\(\mathfrak{A}\)，则无限集\(\mathfrak{C}\)就是无限集A的一个无限真子集。
       现在我们证明无限集\(\mathfrak{C}\)与无限集A等势。为此，我作A到\(\mathfrak{C}\)的映射
\begin{split}
\small y=f(x)=\begin{cases}
x_{m+i}=f(x_i)，x_i∈B&(1)\\x=f(x)，x∈\mathfrak{A}&(2)
\end{cases}
\end{split}
\(\quad\)∵  对\(\forall\)x∈A，唯一存在y=f(x)∈\(\mathfrak{C}\)与之对应(当x=\(x_i\)∈B时，y=\(x_{m+i}\)∈\(\mathfrak{B}\)与之对应，当x∈\(\mathfrak{A}时，y=x∈\mathfrak{A}\)与之对应)。反之，对\(\forall\)y∈\(\mathfrak{C}\)，必唯一存x∈A与之对应。所以，映射\begin{split}
\small y=f(x)=\begin{cases}
x_{m+i}=f(x_i)，x_i∈B&(1)\\x=f(x)，x∈\mathfrak{A}&(2)
\end{cases}
\end{split}
是A到其无限真子集\(\mathfrak{C}\)的一一映射。所以无限集A与其无限真子集\(\mathfrak{C}\)等势。【\(\mathbf{证毕}\)】
2、实数区间(0，1)是不可列集.
       【\(\mathbf{证明:}\) 】（反让法)假设（0，1）中全体实数构成一个可数无穷集\(\lbrace θ_n\rbrace\)，则每一个\(θ_n\)都可唯一表示成十进制小数\(θ_n=0.θ_{n1}θ_{n2}θ_{n3}…θ_{nm}…\)\(\quad n∈\overline{N} ，m∈\overline{N}\)，\(\overline{N}\)为实无穷观下的自然数集合.其中\(θ_n\)均为0，1，2，…，9中的数字.\(θ_{nn}是无穷矩阵[θ_{nm}]\)的对角线元素.现在我们集合\(\lbrace 1，2，3，…，8\rbrace\)中选取数字\(\overline{θ_n}_n\)，使\(\overline{θ_n}_n\)≠\(θ_{nn}\)\((n∈\overline{θ_n}_n)\)，于是我们做出的新数\(θ=0.\overline{θ_1}_1\overline{θ_2}_2…\overline{θ_n}_n…\)显然与每个\(θ_n\)都有第n位差位。因此，\(θ≠θ_n\)\(n∈\overline{N}\)，但θ∈(0，1)，故与原来的假设矛盾，因此(0，1)中的实数不可数.【\(\mathbf{证毕}\)】

春风晚霞

四、几个涉及无穷的数学趣题的解析
（1)、证明：自然数和完全平方数一样多（伽利略猜想)。
       证明：设自然数集\(N\)=\(\lbrace 1，2，3，…，n，…\rbrace\)；完全平方数集\(A\)=\(\lbrace 1^2，2^2，3^2，…，n^2，…\rbrace\)；因为存在一一映射\(N\iff\)\(A\):n\(\longleftrightarrow    n^2\). 所以\(\overline{N}=\overline{A}\)(俗称集合N与集合A的元素一样多).
（2)、证明：有理数和正整数一样多。
   分析：根据可到集的定义，要证有理数和正整数一样多。只需证有理数集Q是可列集即可。
   证明：因为每个有理均可写成既约分数\(\frac{m}{n}\)的形式，其中m∈Z，n∈N. 设\(A_n=\lbrace\frac{1}{n}，\frac{2}{n}，\frac{3}{n}，…\rbrace\)(n=1,2,…)，则每个\(A_n\)都是可到集，所以\(Q^+=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+∞} A_n\)是可列集，同理\(Q^-=\displaystyle\bigcup_{n={-∞}}^{-1} A_n\)也是可列集，所以Q=\(Q^-\cup \lbrace 0\rbrace\cup Q^+\)是可到集(可列个可列集的并集是可列集).所以有理数集和自然数集等势(即俗称有理数和正整数一样多).
（3)、证明：区间（0，1）上的点和（0，100）上的点一样多。
       证明：考虑定义在区间（0，1）取值在区间（0，100）上的一次函数\(y=100x\)，因为对任给x∈(0，1)，唯一存在y(=100x)∈(0，100)与之对应，并且对任给y∈(0，100)，唯一存在x\((x=\frac{y}{100}\)与之对应，由正比例函数的单调性知\(y=100x\)是区间(0，1)到区间(0，100)的一一对应，所以集合(0，1)与集合(0，100)等势.(俗称区间（0，1）上的点和（0，100）上的点一样多.
（4)、当x,y都是整数时，数轴上的点x和坐标平面内的点(x,y)一样多。
       证明：因为对每个固定的x,\(A_n=\lbrace (x，y)|m是整数\rbrace\)，故此集合\(A_n=\lbrace (x，y)|y是整数\rbrace\)是可列集(可列集的定义），所以\(\displaystyle\bigcup_{x={-∞}}^{+∞} A_x\)是可列集(可列个可列集的并是可列集).所以数轴上的点x的集合与坐标平面内的点(x,y)的集合的势都等于\(\aleph_0\).所以数轴上的点x和坐标平面内的点(x,y)一样多(俗称）。
      

任在深

四、百度吧题目解析
（1)、证明：自然数和平方数一样多。
*****************************************************************************************
错！
        原数学中的又一大错误！！

      请看一样多吗？

自然数：       1            2                 3                                         4......n
平方数：       1  (2,3)  4,(5,  6, 7, 8) 9, (10, 11,  12, 13,  14, 15) 16......n^2
平方数单位：1",2",3",4",5",6",7",8",9",10",11",12",13",14",15",16"......(√n)^2=n"

            显然是不一样多的!?
            平方数n^2很明显比平方单位数(√n)^2少了n(n+1)!
啊！历史的数学中的悲剧，太悲惨了！！！
                        

春风晚霞

任在深 发表于 2023-3-13 15:32
四、百度吧题目解析
（1)、证明：自然数和平方数一样多。
******************************************* ...

先生所云：【错！元数学中的又一大错误！！】，倒请先生明言何以为错？错在哪里？先生找能找出哪个自然数的平方不是自然数，也不是完全平方数了吗？你找不出那你就不能说自然数比完全平方数多！先生你找出哪个完全平方数的算术平方根不是自然数吗？你找不出来，那就不能说完全平方数比自然数多？既然你找不出来，那你又何以言错？！建议先生还是放下你既不懂又不谦虚的臭架子，认真学一点现行的数学理论，才能做到批评有据，以理服人嘛！

任在深

春风晚霞 发表于 2023-3-13 16:01
先生所云：【错！元数学中的又一大错误！！】，倒请先生明言何以为错？错在哪里？先生找能找出哪个自然 ...

您老根本不知纯粹数学中描写线段即一维空间数是√n;而描写面积即二维空间数是(√n)^2!
因此线段的平方才是面积！

                           L=√n。...............................................;  a——b
                         S□=(√n)^2...........................................    □

您丢掉那么多面积的单位，难道不觉得心疼？！

jzkyllcjl

春风晚霞落后了，符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页中讲的“非正常（或称广义）极限[4] 性质的“非正常实数”。∞ - ∞是不定式。

任在深

春风晚霞
狗要吃屎是显然的，人不吃屎也是显然的。你能用这两个显中的一个显然去否定另一个显然吗？  发表于 2023-3-13 16:31
*******************************************************************************************
    您老怎么和elim学起来了？
    在数学论坛上要以数学的语言互相交流！
    不要用那些鸟语？！
    希望您老要自尊！！

任在深

春风晚霞
1对应1的平方，2对应2的平方…n对应n的平方…，你说哪个多？  发表于 2023-3-13 16:34
********************************************************************************************
您老太幼稚了？！
原来您不识数呀？？
那也就没办法了！！！