具有完全循环节的一条龙素数及其代码

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蔡家雄

具有完全循环节的一条龙素数及其代码

设 n≥3 ,              
                                                         
若 (10^n - 1)÷9×2+1是素数，   
                                             
则 10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根，
  
则 1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大的完全循环节长。                                          
                                                                              
有 n=3, 8, 11, 36, 95, 101, 128, 260, 351, 467, 645, 1011, 1178, 1217, 2442，......

ForIf[n = 101;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 1] == (10^n - 1)/9*2]


设 n≥3 ,         
                                                                                 
若 (10^n - 1)÷9×3+4是素数，  
                                                
则 10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大的完全循环节长。                                            
                                                                              
有 n=3, 6, 46, 394, 978, 2586, 2811, 2968，......

ForIf[n = 394;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*3 + 4 - 1)/2, (10^n - 1)/9*3 + 4] == (10^n - 1)/9*3 + 3]


设 n≥3 ,   
                                                                 
若 (10^n - 1)÷9×4+3是素数，
                                                  
则 10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大的完全循环节长。                                               
                                                                                 
有 n=4, 10, 20, 26, 722, 1310，......

ForIf[n = 722;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*4 + 3 - 1)/2, (10^n - 1)/9*4 + 3] == (10^n - 1)/9*4 + 2]      


设 n≥3 ,      
                                                                       
若 (10^n - 1)÷9×8-1是素数，
                                               
则 10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大的完全循环节长。                                         
                                                                           
有 n=3, 4, 6, 9, 12, 72, 118, 124, 190, 244, 304, 357, 1422, 2691，......  

ForIf[n = 118;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*8 - 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*8 - 1] == (10^n - 1)/9*8 - 2]      


设 n≥3 ,     
                                                            
若 (10^n - 1)÷9×2+7是素数，
                                                   
则 10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大的完全循环节长。                                             
                                                                                       
有 n=3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759，.......

ForIf[n = 176;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 7 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 7] == (10^n - 1)/9*2 + 6]


设 n≥3 ,
                                                                    
若 (10^n - 1)÷9×7+2是素数，
                                             
则 10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大的完全循环节长。                                          
                                                                           
有 n=66, 86, 90, 102, 386, 624，......

ForIf[n = 102;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*7 + 2 - 1)/2, (10^n - 1)/9*7 + 2] == (10^n - 1)/9*7 + 1]

蔡家雄

如下两个函数指令都是表示：2^n ≡ 1  (mod  n)  ，

用 Mod[2^n, n] 仅能验证到至多 n <=10^9（不超10位数），

用 PowerMod[2, n, n] 可以验证到 n <=10^10000（一万位数），，，

蔡家雄

公式化的广义原根

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 2^(2d+1)， g2= 3^(2d+1)， g3= 5*3^(2d)，

设 g4= 6*g1或6*g2或6*g3，g5= 10*g1或10*g2或10*g3，

设 P >= 5，
设 P 和 4P+1 都是素数，

若 4P+1  ≡ 13或37 （mod  40），

且 g^4  ≠  1  （mod  (4P+1)） ，

则 g1, g2, g3, g4, g5 是 4P+1 的广义原根。

s = 0;
For[g = 3; p = 5, p <= 1000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[4 p + 1]) && (Mod[4 p + 1, 40] == 13 || Mod[4 p + 1, 40] == 37)
&& (PowerMod[g, 4, 4 p + 1] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", 4 p + 1, "-----", MultiplicativeOrder[g, 4 p + 1] == 4 p]]]

蔡家雄

公式化的广义原根

设 d, k 为非负整数，

设 g1=2^(2d+1)=2, 8, 32, 128, 512, ...

设 g2=3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, .....

设 g3=5*g1=10, 40, 160,, 640, 2560, ...

设 g4=5*g2=15, 135, 1215, 10935, ......

若 30k+7 和 120k+29 同为素数，

且 g^4  ≠ 1 （mod  (120k+29)） ，

则 g1, g2, g3, g4 都是 120k+29 的广义原根。

s = 0;
For[g = 10; k = 0, k <= 1000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29] && (PowerMod[g, 4, 120 k + 29] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", 120 k + 29, "-----", MultiplicativeOrder[g, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]

蔡家雄

设 d 为非负整数，

若 3^(4d+2) -2 是素数，则 10 是素数 3^(4d+2) -2 的原根。

4d+2=2, 6, 22, 90, 102, 786, ......


若 5^(2d+2) -2 是素数，则 10 是素数 5^(2d+2) -2 的原根。

2d+2=2, 14, 26, 50, 126, 144, 260, 624, 1424.


若 7^(4d+2) -2 是素数，则 10 是素数 7^(4d+2) -2 的原根。

4d+2=2, 98, 238, 302, ......


由 10 是素数 p=(2k+1)^2 -2 的原根，则 10 是素数 p^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 7=3^2 -2 的原根，则 10 是素数 7^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 23=5^2 -2 的原根，则 10 是素数 23^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 47=7^2 -2 的原根，则 10 是素数 47^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 167=13^2 -2 的原根，则 10 是素数 167^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 223=15^2 -2 的原根，则 10 是素数 223^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 727=27^2 -2 的原根，则 10 是素数 727^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 1087=33^2 -2 的原根，则 10 是素数 1087^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 1223=35^2 -2 的原根，则 10 是素数 1223^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 1367=37^2 -2 的原根，则 10 是素数 1367^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 1847=43^2 -2 的原根，则 10 是素数 1847^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 2207=47^2 -2 的原根，则 10 是素数 2207^(4d+2) -2 的原根。

蔡家雄

公式化的广义原根

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 3^(2d+1)，g2= 5^(2d+1)，

设 g3= 3*2^d，     g4= 5*2^d，

设 n>=3,  P>= 5，

设 P 和 (2^n)*P+1 都是素数，

若 (2^n)*P+1  ≡ 17或33（ mod  40），

且 g^(2^n)  ≠  1 （ mod  ((2^n)*P+1)） ，

则 g1, g2, g3, g4  是 (2^n)*P+1 的广义原根。

s = 0;
For[n = 3; g = 10; p = 5, p <= 1000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[(2^n) p + 1]) && (Mod[(2^n) p + 1, 40] == 17 || Mod[(2^n) p + 1, 40] == 33)
&& (PowerMod[g, (2^n), (2^n) p + 1] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", (2^n) p + 1, "-----", MultiplicativeOrder[g, (2^n) p + 1] == (2^n) p]]]

蔡家雄

若 5^(2k)+4 是素数，

则 2, 3和10 是素数 5^(2k)+4 的三个原根。

此时，不超10000的 2k 的值仅有，

2k = 2，6，10，102，494，794，1326，5242，5446 .


若 5^(2k -1)+24 是素数，

则 2, 3和10 是素数 5^(2k -1)+24 的三个原根。

此时，不超10000的 2k - 1 的值仅有，

2k - 1 = 1，3，21，53，195，353，2067，2191，4563 .

蔡家雄

完全循环节问题

若 16^k+3 是素数，

则 10 是素数 16^k+3 的原根，

则 1/(16^k+3) 具有最大循环节长d= 16^k+2 .

此时，不超5000的 k 的值有，

k = 1，3，4，7，21，57，196，426，502，1015，1138，4305，


完全循环节问题

若 16^k+7 是素数，

则 10 是素数 16^k+7 的原根，

则 1/(16^k+7) 具有最大循环节长d= 16^k+6 .

有 k=1, 2, 4, 5, 7, 11, 22, 40, 51, 147, ......


完全循环节问题

若 16^k+13 是素数，

则 10 是素数 16^k+13 的原根，

则 1/(16^k+13) 具有最大循环节长d= 16^k+12 .

有 k=1，2，5，16，20，73，283，......

蔡家雄

素数倒数最大循环节长定理

设 k 为非负整数，

若 30k+7 和 120k+29 都是素数，

则 1/(120k+29) 具有最大循环节长d= 120k+28.


蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17或33（mod  40），

则 10 是 2^n*P+1 的原根，

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)+1 的原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)+1 的原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)+1 的原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)+1 的原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)+1 的原根。