三角形三边可以有 a^2+b^2=c^2 的关系，那三个角可以有 A^2+B^2=C^2 的关系吗？

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三角形三边可以有a^2+b^2=c^2的关系，那三个角可以有A^2+B^2=C^2的关系吗，简要说明理由

Treenewbee

显然

\[A=\frac{3\pi}{12},B=\frac{4\pi}{12},C=\frac{5\pi}{12}\]

是一组解

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可以求出其通解为：\[A=\frac{(2k-k^2)\pi}{2k},B=\frac{(2k-2)\pi}{2k},C=\frac{(k^2-2k+2)\pi}{2k}\]，其中\[k\] 为任意实数且\[k\in(1,2)\]

Treenewbee

令 \[k=\frac{4}{3}\]可得到2楼的解。

Treenewbee

或者对任意勾股数组\[(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)\]
取其和\[2m(m+n)\]作分母,相应的比例取角亦可，即：
\[A=\frac{(m^2-n^2)\pi}{2m(m+n)}=\frac{(m-n)\pi}{2m},B=\frac{2mn\pi}{2m(m+n)}=\frac{n\pi}{m+n},C=\frac{(m^2+n^2)\pi}{2m(m+n)}\]

Treenewbee

\[A=\frac{(m^2-n^2)\pi}{2m(m+n)}=\frac{(m-n)\pi}{2m},B=\frac{2mn\pi}{2m(m+n)}=\frac{n\pi}{m+n},C=\frac{(m^2+n^2)\pi}{2m(m+n)}\]

这个是按角度（非弧度）计算的有理数通解

Treenewbee

3楼6楼的通解应该是等价的