假币问题及其解法

luyuanhong

假币问题及其解法

作者 | 文耀光（现任教于香港教育学院数社科技学系）

来源 |《数学传播》

1. 引言

所谓「假币问题」（又称「12 钱币问题」），是指有 12 枚钱币，其中有一枚是假币，它与真币的形状相同，但重量不相同。如果容许以天平称量 3 次，但不可使用砝码，怎样可判别出哪一枚才是假币？并确定它比真币较重还是较轻？

这是一个经典的数学谜题，曾在 Beasley（1990）及赵文敏（1995）所著的趣味数学书中介绍过，其本质与 Bundy（1996）所讨论的 Odd Ball Problem 属同类问题，但三人的解法不一样。本文将介绍另一种简单的解法，读者只须对 3 进制有基本的认识便可以理解。

2. 解法及其原理

要找出哪一枚是假币，可采用以下的步骤进行：

1. 首先，以整数 1 至 12 为每个钱币编上一个互不相同的号码。

2. 然后，把每个编号化成 3 进制，并以 -1，0 或 1 表示每个位出现的数值。如下所示：



3. 接着，把这些 3 进制的数值，从右至左，看成是每次秤量时摆放在天平上的位置：1 表示放置于左边，-1 表示放置于右边，而 0 表示两边都不放置。那么，可以初步得出钱币的摆放位置如下：



4. 由于此时在天平的左、右所放置的钱币数目不相同，所以需要把某些钱币的位置变动一下。怎样进行呢？我们可以把整数 1 至 12 的 3 进制表示法以直列的方式记录，观察每一横行中 1 与 -1 的数目是否相同，然后作一些适当的变动。如下表所示：



可以看到，中行和高行中出现的 1 过多。我们可以选择把某些直行中的数字的正、负号由正变负，或由负变正，使得在高、中、低行中出现的 1 与  的数目相等。譬如，如果把直行 7，9，11，12 中的数字的正、负号改变，则表中的数值会变成：



（注：有 * 号的数字是指曾被改动过正、负的数字。) 此时，每一横行中的 1 与 -1 的数目都各有 4 个[1]，从而让我们确定了每个钱币最终的摆放位置如下：



由于在每次秤量中，天平的状态只有三种，分别是「左重」（L）、「右重」（R）或「平衡」（#），而秤量的结果一定不会出现「三次皆平衡」、「三次皆左重」或「三次皆右重」[2]的情况，所以不同秤量结果的数目是：3×3×3-3=24 。如果我们把 L、R 与 # 分别跟 1，-1 与 0 作「一一对应」的话，那么透过 3 进制的表示，我们便可以知道何者是假币，以及知道它比真币较轻还是较重。为什么呢？我们不妨用一个简单的例子加以说明：假设钱币 6 是一个假币，而且它比真币较重。由于它在秤量时的摆放位置是以（1，-1，0） 来表示，故其称量结果将会是（L，R，#）。反过来说，如果称量的结果是（L，R，#），它的 3 进制表示（1，-1，0） 会唯一地[3]确定了假币的编号是 6 ，而且由于天秤下坠的方向与它在天秤出现的位置是一致的，所以知道它比真币较重。另外，如果钱币 6 是一个假币，而它比真币较轻。因为它在秤量时的摆放位置是以（1，-1，0） 来表示，故其称量结果将会是（R，L，#）。反过来说，如果称量的结果是（R，L，#），它的 3 进制表示（-1，1，0）[4]会唯一地确定了假币的编号是 6 ，而且由于天秤下坠的方向与它在天秤出现的位置是相反的，所以知道它比真币较轻。

应用类似上述的分析，我们可以对所有可能出现的结果作以下的结论：







由这个表可见，如果把秤量结果的 3 进制表示化成10进之后，它的绝对值便是假币的编号。另外，如果所得的 10 进数是 1，2，3，4，5，6，-7，8，-9，10，-11 或 -12 的话，是代表假币比真币较重。反之，如果所得出的10进数是 -1，-2，-3，-4，-5，-6，7，-8，9，-10，11 或 12 的话，是代表假币比真币较轻。换言之，秤量结果的 10 进制表示，除了是 ±7，±9，±11 及 ±12 是例外，其他所得数值的正、负号正好对应着假币是「较重」或「较轻」的情况。有了这种认知，会有助于我们快速和正确地判断出何者是假币，以及知道它比真币较轻还是较重，而不需要利用上表去查看结果。以下是一些具体的示例：

例一：假设秤量所得的结果是：第一次是左重、第二次是右重，而第三次是平衡。它对应的 3 进数是（0，-1，1）= 0×9+(-1)×3+1 = -2 。由此可知钱币 2 是假币，它比真币较轻。

例二：假设秤量所得的结果是：第一次是右重、第二次是平衡，而第三次是左重。它对应的 3 进数是（1，0，-1）= 1×9+0×3+(-1) = 8 。由此可知钱币8是假币，它比真币较重。

例三：假设秤量所得的结果是：第一次是左重、第二次是右重，而第三次是左重。它对应的 3 进数是（1，-1，1）= 1×9+(-1)×3+1 = 7 。由此可知钱币 7 是假币，它比真币较轻。

3. 结语及其他问题

总括而言，本文所介绍的方法，是运用了整数的 3 进制表示的唯一性。解法简单，而且其思维方式可以应用到其他类似的数学问题上去。譬如，以下的两个问题，都可以运用 3 进制的方法求解[5]，读者不妨动手一试：

问题一：如果只可以用 4 块不同重量的砝码，去秤出由 1 至 40 磅中各不同的整数重量，问该 4 块砝码的重量应分别是多少？

问题二：有 1 克，3 克，9 克，27 克，81 克和 243 克的砝码各一个。如果把一件重 200 克的物件放置于一个天平的右边，如何把上述砝码置于天平之上，才可以令天平的左、右平衡？

参考文献

[1] J. Beasley (1990), The Mathematics of Games. Oxford University Press.
[2] B. Bundy (1996), The Odd Ball Problem, Mathematical Spectrum, 26, 14-15.
[3] 赵文敏 （1995），寓数学于游戏，第一辑，九章出版社。