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已知对任何实数 x,y ,有 f(f(x)+y)=x/(1+xy) ,求 f(x)

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发表于 2022-12-3 17:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知f(f(x)+y)=x/(1+xy),求f(x)
发表于 2022-12-3 20:02 | 显示全部楼层
\(f\left( x\right)=0\)
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发表于 2022-12-4 06:46 | 显示全部楼层
看了一下,该f无解。
1、首先令x = 0,y遍历所有实数,得出f(x) = 0
2、再取一对值,x=y=1带入上式,左=0,右=1/2;显然不成立。
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 楼主| 发表于 2022-12-4 10:13 | 显示全部楼层
f(x)=1/x
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发表于 2022-12-4 16:22 | 显示全部楼层
设\(t=\frac{1}{x}\),\(f\left( f\left( x\right)+y)=f\left( f\left( \frac{1}{t}\right)+y\right)=\frac{\frac{1}{t}}{1+\frac{1}{t}y}=\frac{1}{t+y}\right)\)
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发表于 2022-12-4 16:25 | 显示全部楼层
又设\(f\left( \frac{1}{t}\right)+y=z\),\(f\left( z\right)=\frac{1}{t+z-f\left( \frac{1}{t}\right)}\)
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发表于 2022-12-4 16:27 | 显示全部楼层
\(\therefore\ f\left( \frac{1}{t}\right)=t+k\),\(k\)为待定常数。
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发表于 2022-12-4 16:28 | 显示全部楼层
\(\therefore\)\(f\left( x\right)=\frac{1}{x+k}\)
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发表于 2022-12-4 16:31 | 显示全部楼层
代入原方程中,得到\(k=0\)
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发表于 2022-12-4 16:32 | 显示全部楼层
\(\therefore\)\(f\left( x\right)=\frac{1}{x}\)
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