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从ΔABC向外作正方形ABB'A',BCC''B'',CAA''C',平行四边形BB'PB'',CC''QC',证:AP=AQ

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发表于 2022-11-29 15:38 | 显示全部楼层 |阅读模式


\(      \blacktriangle   ABC                     \) 是一个锐角三角形
外围三个正方形
Prove   that:
\(      AP=AQ        \)
\(      \measuredangle  PAQ=90^O        \)

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发表于 2022-11-29 19:04 | 显示全部楼层
向量可能不难
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发表于 2022-11-29 20:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2022-12-2 16:51 编辑

如若用复数方法,这种题全是一个套路,

\( B'-B=i(A-B) \implies B' = B+i(A-B) \)
\( B''-B=-i(C-B)\implies B'' = B-i(C-B) \)
\( P-B'=B''-B \implies P=B''+B'-B=B+i(A-B)-i(C-B)=B+i(A-C) \)
\( P-A=(B-A)+i(A-C) \)
\(  \)
\( C'-C=-i(A-C) \implies C'=C-i(A-C) \)
\( C''-C=i(B-C) \implies C''=C+i(B-C) \)
\( Q-C'=C''-C \implies Q = C'+C''-C = C+i(B-A) \)
\( Q-A=(C-A)+i(B-A) = i((B-A)+i(A-C))=i(P-A) \)
∴ QA⊥PA 且  QA=PA

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老师,可否提出一个疑问?  发表于 2022-12-2 15:52
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发表于 2022-11-29 20:51 | 显示全部楼层
△AQC≌△PAB,并且对应边垂直。
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发表于 2022-11-30 00:54 | 显示全部楼层


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非常感谢陆老师啊~~~我后面稍加点评,评注  发表于 2022-12-2 15:44
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 楼主| 发表于 2022-12-2 15:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-12-2 15:50 编辑

其实后面,
隐隐约约感觉到,A点作为分水岭,
左右两边呈现出一种弱弱的对称性






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 楼主| 发表于 2022-12-2 15:48 | 显示全部楼层
观察啦好久,才发现
   \(    \measuredangle   ACC''  = \measuredangle    A''C'Q                          \)

   \(    \Longrightarrow   \measuredangle   ACB  = \measuredangle    CC'Q              \)


再来证明   \(    \blacktriangle  CC'Q=\blacktriangle   CAB              \)






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 楼主| 发表于 2022-12-2 15:54 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2022-11-29 20:24
这种题一个套路,

\( B'-B=i(A-B) \implies B' = B+i(A-B) \)

可否请教一哈:
这里的\(i\)以及\(-i\),
应该具体怎么理解呢?

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易验证,若 ∠ACB = 90° 且 AC=BC 及 BC 到 AC 时逆时针旋转,则 A-C = i (B-C);若 BC 到 AC 时顺时针旋转,则 A-C = -i (B-C),掌握这一个知识点就大概能理解了。  发表于 2022-12-2 16:46
大写的字母表示该点在复平面上的复数值,i 则是虚数单位 √-1 。  发表于 2022-12-2 16:34
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 楼主| 发表于 2022-12-9 21:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-12-10 19:29 编辑

       \(    A-B=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i                            \)
       \(    C-B=2       \)
       \(    \Longrightarrow    A-B=(\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i)(C-B)       \)

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 楼主| 发表于 2022-12-9 21:48 | 显示全部楼层
       \(    A-B=2                             \)
       \(    C-B= \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i        \)
       \(    \Longrightarrow    A-B   =(1-\frac{\sqrt{3}}{3}i)(C-B)       \)

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