千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文

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千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文

撰文 | 倪忆

2022 年 10 月 14 日，在北京大学大纽约地区校友会举办的在线座谈活动中，传奇数学家张益唐宣布他证明了朗道-西格尔零点猜想，论文很快便会公布。消息传出，在学术界内外均引起了轰动。

美国时间 11 月 4 日，张益唐终于公布了他的论文，并在山东大学的在线讲座中简要介绍了这一工作。根据北京大学的公告，张益唐还将于 11 月 8 日在北大做在线学术报告。

张益唐的这篇论文题为《离散平均估计与朗道-西格尔零点》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero），全长 111 页。看起来文章很长，但张益唐过往的风格是写得非常清楚，领域内的专家读起来毫不费力。他上一篇关于孪生素数猜想的文章有五十多页，投稿后仅仅五周时间就被《数学年刊》接受。现在这篇论文当然也要接受学术界最严格的检验。但如果文中证明没有错误，可能两三个月内就能得到证实。


张益唐论文的目录

那么，朗道-西格尔零点猜想到底是怎样的一个猜想，又有什么意义呢？

太长不看版：朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一个重要的特殊情况，但跟黎曼假设没有直接关系。张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形。这一成果在解析数论中的意义，比张益唐之前在孪生素数猜想上的突破还要重大。

下面具体谈谈笔者作为一个外行对张益唐工作的理解，其中不免有错漏之处，望方家海涵。

很多读者都听说过黎曼 ζ 函数。这是一个形如



的函数，其中 s=x+yi 是一个复数。需要特别注意的是，上述关于 ζ 函数的定义仅仅是在 x＞1 的情况下才成立。在 x≦1 的时候，需要使用别的定义。

黎曼 ζ 函数满足一个函数方程



从中容易看出，在所有的负偶数处，黎曼 ζ 函数的值都是 0 。所以负偶数被称为黎曼 ζ 函数的平凡零点。黎曼 ζ 函数还有别的非平凡零点。黎曼猜测，所有的非平凡零点都应该在 x=1/2 这条直线上。这就是著名的黎曼假设（Riemann hypothesis），是数学中最重要的问题之一。

在黎曼的原始论文中，用 ζ 函数的所有零点给出了素数分布的精确公式。所以一旦我们知道 ζ 函数零点分布的任何信息，就能得到关于素数分布的相关结论。这就是为什么黎曼 ζ 函数是如此重要。

早在一百多年前，人们就知道黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都在 0＜x＜1 这个无穷长的带状区域里。前面的函数方程告诉我们，这些非平凡零点关于 x=1/2 这条直线对称分布。所以黎曼假设等价于说黎曼 ζ 函数在 1/2＜x＜1 这一区域内没有零点。

黎曼 ζ 函数可以推广为狄利克雷 L 函数，这是一种形如



的函数。同样地，这个定义只是在 x＞1 时成立。在 x≦1 的时候，需要使用别的定义。

上式中 χ(n) 是正整数集上定义的一个复数值函数，称为狄利克雷特征，满足如下条件：

(1) 对于任意两个正整数 m 和 n ，χ 满足 χ(mn)=χ(m)χ(n) 。

(2) 存在一个正整数 D ，使得 χ(n+D)=χ(n) 对任何 n 都成立。

(3) 如果 n 与 D 有大于 1 的公约数，那么 χ(n)=0 ；如果 n 与 D 互素，那么 χ(n) 是一个单位根（即其若干次幂是 1 ）。

广义黎曼假设（Generalized Riemann hypothesis）说，狄利克雷 L 函数所有的非平凡零点都在 x=1/2 这条直线上。类似于黎曼假设，广义黎曼假设等价于说狄利克雷 L 函数在 1/2＜x＜1 这一区域内没有零点。

广义黎曼假设当然比原本的黎曼假设更加困难。不过，人们已知狄利克雷 L 函数在一个非常靠近 x=1 这条直线的区域里通常没有零点。具体而言，如果 χ(n) 的取值不全是实数的话，L(s,χ) 在



这一区域里没有零点。其中 c 是一个跟 D 和 χ 无关的可以计算出来的正实数。如果 χ(n) 的取值都是实数（这时 χ 被称为一个实特征），那么 L(s,χ) 在上述区域里最多只有一个零点，而且这个零点一定是实数。这个可能存在的零点被称为西格尔零点。

朗道-西格尔零点猜想就是说，西格尔零点不存在。更确切地说，存在一个正实数 c ，使得对于任何 D 和相应的实特征  χ  ，L(x,χ) 在



时都不等于 0 。

很明显能看出，朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一种特殊情形。但这是一种非常重要也非常困难的情形。在很多解析数论问题的研究中，都需要把西格尔零点单独拿出来考虑。所以如果能够排除西格尔零点，对于解析数论的研究就有着非同寻常的意义。

在许多介绍张益唐工作的文章中，把“广义”去掉，直接说朗道-西格尔零点猜想是黎曼假设的特殊情形。这是不对的。事实上，对于黎曼 ζ 函数，早在一百多年前就知道相应的西格尔零点不存在了。人们甚至知道更强的结论：黎曼 ζ 函数的非平凡零点都不是实数。所以朗道-西格尔零点猜想跟黎曼假设没有直接的关系。

张益唐对朗道-西格尔零点猜想已经研究了二十多年。早在 2007 年，他就在预印本网站 arXiv 上张贴了一篇论文，宣布证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形（variant）。但这篇论文有错误。现在这个证明的想法是在他 2014 年访问普林斯顿高等研究所期间产生的。从那时起，他花费了 8 年时间，终于完成了证明。


张益唐论文的第一章

在张益唐新公布的论文第一章中，他宣布了两个定理。定理 1 是当 χ 是一个实特征时，对于 L(1,χ) 的估计：



其中 c1 是一个跟 D 无关的，可以计算出来的正实数。定理 2 则是对西格尔零点的估计：L(x,χ) 在



时都不等于 0 。其中 c2 是一个跟 D 无关的，可以计算出来的正实数。

这里的指数 -2022 和 -2024 都是可以改进的数字，就像他的孪生素数猜想论文中的七千万一样，只是为了计算方便而选取出来的。当然选取成目前的数字，明显是在致敬今年的年份。

对比定理 2 和原本的朗道-西格尔零点猜想，我们可以看到，张益唐所证明的结论并不完全是原本的猜想。现在这个结论，比他 2007 年宣布的（证明有错误的）版本还要弱一些。要得到原来的猜想，需要把定理 2 中的指数 -2024 改成 -1 。但这跟原来的猜想没有实质性的差别。重要的是，张益唐的工作给出了西格尔零点的有效估计，这在实际应用中已经足够了。可以说，张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形。按张益唐本人的话，从中可以推出一百个定理。

张益唐的同事，解析数论专家 Jeffrey Stopple 曾说：“如果张益唐能够证明朗道-西格尔零点猜想，就相当于一个人被闪电击中两次。”现在张益唐的论文已经公布，如果最终被证实是正确的话，解析数论就将揭开一个新的篇章。让我们拭目以待，希望早日有好消息传来！

本文转载自微信公众号“普林小虎队”。