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问题1(1被3除的理想性与实测性的对立统一关系):数学理论是人们在实践的对现实数量大小及其关系的一种认识。在提出自然数之后,人们又提出了整数与使用“序偶”定义的有理数。有理数集合中含有十进小数为其一个子集合;这个子集合中的数可以被看作使用十进位米尺得到的线段长度的表达数字,所以十进小数在表达线段长度时,有重要的使用价值。为此,需要把有理数1/3,用十进小数表达出来,但在十进小数系统下,遇到了1被3除永远除不尽的事实,这时可以得到针对误差界序列 的不足近似值无穷数列,0.3,0.33,0.333,……,这个数列的通项 满足条件: ,所以这个近似值无穷数列的 极限是1/3;但这个近似值无穷数列永远达不到 1/3,这个问题说明:在使用有理数表示线段长度时,使用“序偶”定义的有理数1/3具有理想性,它与线段长度实测时需要使用十进小数近似表达之间具有对立统一的关系。
笔者的上述认识,可以说是根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册37页整序变量极限定义写出的认识。但对照该书第10页第一行“有理数及无理数总称为实数”与12、13页“用无尽小数来表示实数”的讨论时,笔者发现它的“用无尽小数来表示实数”的意见不成立。事实上,它的12页最后一行到13页第一行说的“求(实)数a的十进小数近似值的过程中,我们求得整数 及数码 的无尽序列。”是对的,但它接着讲的“由此组成的无尽小数,即记号 可以看成实数a的一种表示”的做法是“把无穷数列性质的变数看做定数”的 “张冠李戴”的逻辑错误;余元希《初等代数研究》中的论述也是如此。为此需要提出无穷数列,0.3,0.33,0.333,……是分数1/3的针对针对误差界序列 的全能不足近似值无穷数列,而且由于这个无穷数列具有永远算不到底、写不到底的事实,应用时需要提出针对具体误差界的不足近似值或过剩近似值表示1/3 。具体讲来,在度量精确度达到毫米的情形下,可以使用0.333米或0.334米近似表示1/3米,在度量精确度达到纳米的情形下,可以使用0.333333333米或0.333333334米近似表示1/3米,但永远写不出1/3米的绝地准十进小数的表达式。
笔者的上述改革意见在数学中国网站发表后,由于现代数学工作者,都是学习现代数学教科书的,所以网友们向笔者提出过“使用《初等代数研究》80页例3的方法,证明无尽循环小数0.3333……等于1/3”,但笔者认为它的这个证明使用了“把变数看做定数的偷换概念”的错误,有人提出了“使用无尽循环小数0.3333……等于无穷级数 ”,但笔者认为“无穷级数和定义中前n项和序列的极限性实数具有前n项和序列达不到的性质,即这个无穷项相加具有加不到底,它不能等于1/3”。后来用名elim的网友,用“吃狗屎的实践”骂了笔者将近四万次,但这些骂人话,不是说理的无用废话;他说的“小学教科书写的也是1被3除,得到无尽循环小数0.3333……=1/3 ”,但笔者认为“小学教科书也存在上述错误”,他不承认这个错误,反而污蔑笔者是“天生愚痴,小学不毕业”,事实笔者读了小学五年级后就考上了初中不是他说的愚痴。
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