有多少个周长为 n 、三边边长都是整数的三角形？

王守恩

周长为n,有多少个三边为整数的三角形？

{0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21,
19, 24, 21, 27, 24, 30, 27, 33, 30, 37, 33, 40, 37, 44, 40, 48, 44, 52, 48, 56, 52, 61, 56,
65, 61, 70, 65, 75, 70, 80, 75, 85, 80, 91, 85, 96, 91, 102, 96, 108, 102, 114, 108, 120,
114, 127, 120, 133, 127, 140, 133, 147, 140, 154, 147, 161, 154, 169, 161, 176, 169,...

a(n)=[\(\frac{(n + 3 Mod(n, 2))^2}{48}\)]   [ ]表示四舍五入

a(n)=SeriesCoefficient[\(\frac{x^3}{(1 - x^2) (1 - x^3) (1 - x^4)}\) {x, 0, n}]

王守恩

你找到规律了吗？

a(1)=0
a(2)=0
a(3)=1:1,1,1,
a(4)=0
a(5)=1:1,2,2,
a(6)=1:2,2,2,
a(7)=2:1,3,3, 2,2,3,
a(8)=1:2,3,3,
a(9)=3:1,4,4, 2,3,4, 3,3,3,
a(10)=2:2,4,4, 3,3,4,
a(11)=4:1,5,5, 2,4,5, 3,3,5, 3,4,4,
a(12)=3:2,5,5, 3,4,5, 4,4,4,
a(13)=5:1,6,6, 2,5,6, 3,4,6, 3,5,5, 4,4,5,
a(14)=4:2,6,6, 3,5,6, 4,4,6, 4,5,5,
a(15)=7:1,7,7, 2,6,7, 3,5,7, 3,6,6, 4,4,7, 4,5,6, 5,5,5,
a(16)=5:2,7,7, 3,6,7, 4,5,7, 4,6,6, 5,5,6,
a(17)=8:1,8,8, 2,7,8, 3,6,8, 3,7,7, 4,4,7, 4,5,8, 4,6,7, 5,6,6,
a(18)=7:2,8,8, 3,7,8, 4,6,8, 4,7,7, 5,5,8, 5,6,7, 6,6,6,
a(19)=10:1,9,9, 2,8,9, 3,7,9, 3,8,8, 4,6,9, 4,7,8, 5,5,9, 5,6,8, 5,7,7, 6,6,7,
a(20)=08:2,9,9, 3,8,9, 4,7,9, 4,8,8, 5,6,9, 5,7,8, 6,6,8, 6,7,7,
a(21)=12:1,0,0, 2,9,0, 3,8,0, 3,9,9, 4,7,0, 4,8,9, 5,6,0, 5,7,9, 5,8,8, 6,6,9, 6,7,8, 7,7,7,
a(22)=10:2,0,0, 3,9,0, 4,8,0, 4,9,9, 5,7,0, 5,8,9, 6,6,0, 6,7,9, 6,8,8, 7,8,8,
a(23)=14:1,1,1, 2,0,1, 3,9,1, 3,0,0, 4,8,1, 4,9,0, 5,7,1, 5,8,0, 5,9,9, 6,6,1, 6,7,0, 6,8,9, 7,7,9, 7,8,8,
a(24)=12
a(25)=16
a(26)=14
a(27)=19
a(28)=16
a(29)=21
a(30)=19
a(31)=24
a(32)=21
a(33)=27
a(34)=24
a(35)=30
a(36)=27
a(37)=33
a(38)=30
a(39)=37
a(40)=33
a(41)=
a(42)=
a(43)=
a(44)=
a(45)=
a(46)=
a(47)=
a(48)=
a(49)=
a(50)=

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong

王守恩

王守恩 发表于 2022-10-28 08:33
你找到规律了吗？

a(1)=0

规律很简单。

第1个数：从1,2,3,4...挨次找；
第2个数：不能比第1个数小，挨次找；
第3个数：不能比第2个数小，挨次找，注意比前2数之和小。

王守恩

周长为n,有多少个三边为整数的三角形？

{0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21,
19, 24, 21, 27, 24, 30, 27, 33, 30, 37, 33, 40, 37, 44, 40, 48, 44, 52, 48, 56, 52, 61, 56,
65, 61, 70, 65, 75, 70, 80, 75, 85, 80, 91, 85, 96, 91, 102, 96, 108, 102, 114, 108, 120,
114, 127, 120, 133, 127, 140, 133, 147, 140, 154, 147, 161, 154, 169, 161, 176, 169,...

Table[Length@Select[IntegerPartitions[n, {3}], Max[#]*180 < 90 n &], {n, 1, 100}]

(* Frank M Jackson, Nov 04 2022 *)

这是2022年11月04日出来的通项公式！

2022年10月30日的时候还没有这个通项公式！

你不感觉应该努力追赶吗？你不感觉可以努力追赶吗？

xfhaoym

一个三角形的法则：任意两个边之和大于第三边，而任意两个边之差小于第三边？忘了。
  

王守恩

不等边(边长为整数)三角形，有 a(n) 个最大边长为 n 的三角形。

OEIS有这串数，可惜没有这种说法。